Teorema di Cauchy (meccanica del continuo)

Nella meccanica del continuo, il teorema di Cauchy, noto anche come teorema di Cauchy-Poisson, afferma che, in un dominio fluido sottoposto a forze di massa e di contatto, la risultante degli sforzi agente sulla superficie di qualsiasi punto secondo una generica giacitura $\underset{\_}{n}$ è univocamente definita una volta riferiti gli sforzi a una giacitura cartesiana. Nella definizione delle forze di contatto, infatti, ci si riferisce a una generica giacitura $\underset{\_}{n}$ della superficie, per cui la cui risultante degli sforzi potrebbe avere infiniti gradi di libertà, rendendo il problema indeterminato. In altri termini, il teorema di Cauchy-Poisson afferma che le equazioni cardinali della statica ammettono, oltre alla forma generale, una locale.

Dimostrazione

Il tetraedro di Cauchy soggetto a sforzi

Preso un sistema di riferimento cartesiano $\{{\hat{i}}_x,{\hat{i}}_y,{\hat{i}}_z\}$centrato in $P_0$ e con orientamento arbitrario, sul quale la tensione è data dalle distribuzioni degli sforzi:

$\begin{array}{cc}& {\underset{\_}{\varphi }}_x(P_0)=\{t_{xx},t_{xy},t_{xz}\}\\ & {\underset{\_}{\varphi }}_y(P_0)=\{t_{yx},t_{yy},t_{yz}\}\\ & {\underset{\_}{\varphi }}_z(P_0)=\{t_{zx},t_{zy},t_{zz}\}\end{array}$

a partire da una combinazione lineare di queste è possibile ricavare una qualunque ${\underset{\_}{\varphi }}_n(P_0)$, cioè conoscendo tre distribuzioni degli sforzi, relative a tre tagli mutualmente ortogonali, consente di conoscere tutto lo stato tensionale.

L'intorno tetraedrico di $P_0$, individuato dai punti $P_0{P}_x{P}_y{P}_z$ e di volume $dV$, è detto tetraedro di Cauchy. La faccia $P_x{P}_y{P}_z$ possiede una giacitura costante $\underset{\_}{n}=\{n_x,n_y,n_z\}$, le cui componenti sono i coseni direttori dello sforzo. Sulla faccia $P_y{P}_0{P}_z$ agirà la distribuzione di sforzi ${\overline{\varphi }}_x$, su $P_x{P}_0{P}_z$ agirà ${\overline{\varphi }}_y$, su $P_x{P}_0{P}_y$ agirà ${\overline{\varphi }}_z$ ed infine su $P_x{P}_y{P}_z$ agirà ${\overline{\varphi }}_n$. Si consideri quindi questo dominio fluido $\mathrm{\Omega }$ soggetto ad azioni di contatto su tutte e quattro le facce. Chiamando $d{A}_n$ l'areola infinitesima dove agisce la tensione, le $d{A}_i$ sono le proiezioni sui piani coordinati di $d{A}_n$:

$\begin{array}{cc}& d{A}_x=d{A}_n{n}_x\\ & d{A}_y=d{A}_n{n}_y\\ & d{A}_z=d{A}_n{n}_z\end{array}$

Le ${\underset{\_}{\varphi }}_i(P_0)$ si possono considerare applicate nei baricentri delle facce del tetraedro di Cauchy, dato che gli errori sono infinitesimi; inoltre, nel baricentro del tetraedro agisce anche la forza di gravità ${\underset{\_}{F}}_G$. Pertanto l'equilibrio alla traslazione è:

$\begin{array}{cc}& {\underset{\_}{\varphi }}_{n}d{A}_n-{\underset{\_}{\varphi }}_{x}d{A}_x-{\underset{\_}{\varphi }}_{y}d{A}_y-{\underset{\_}{\varphi }}_{z}d{A}_z-\cancel{{\underset{\_}{F}}_{G}dV}=\\ =& {\underset{\_}{\varphi }}_n\cancel{d{A}_n}-{\underset{\_}{\varphi }}_x\cancel{d{A}_n}{n}_x-{\underset{\_}{\varphi }}_y\cancel{d{A}_n}{n}_y-{\underset{\_}{\varphi }}_z\cancel{d{A}_n}{n}_z=0\end{array}$

da cui si ricava che

${\underset{\_}{\varphi }}_n(P_0)={\underset{\_}{\varphi }}_x(P_0)n_x+{\underset{\_}{\varphi }}_y(P_0)n_y+{\underset{\_}{\varphi }}_z(P_0)n_z⟹\{\begin{array}{c}{\varphi }_{nx}=t_{xx}{n}_x+t_{yx}{n}_y+t_{zx}{n}_z\\ {\varphi }_{ny}=t_{xy}{n}_x+t_{yy}{n}_y+t_{zy}{n}_z\\ {\varphi }_{nz}=t_{xz}{n}_x+t_{yz}{n}_y+t_{zz}{n}_z\end{array}$

il che equivale ad affermare la linearità di ${\underset{\_}{\varphi }}_n$ rispetto a $\underset{\_}{n}$. La precedente relazione può essere riscritta in forma tensoriale come:

${\left\{\begin{array}{c}{\varphi }_{nx}\\ {\varphi }_{ny}\\ {\varphi }_{nz}\end{array}\right\}}_{(P_0)}=\underset{\underset{\_}{\underset{\_}{T}}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{t}_{xx}& t_{yx}& t_{zx}\\ t_{xy}& t_{yy}& t_{zy}\\ t_{xz}& t_{yz}& t_{zz}\end{array}\right]}}\cdot \left\{\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right\}⟹{\underset{\_}{\varphi }}_n=\underset{\_}{\underset{\_}{T}}\cdot \underset{\_}{n}$

dove $\underset{\_}{\underset{\_}{T}}$ è il tensore delle tensioni in $P_0$, noto il quale è possibile conoscere completamente lo stato tensionale.

Voci correlate

• Continuo di Cauchy
• Deformazione
• Grado di libertà
• Meccanica del continuo
• Relazione costitutiva
• Tensione interna