Funzione tau sui positivi

I primi 250 valori della funzione τ

In matematica, la funzione tau sui positivi (o funzione dei divisori) è una funzione, solitamente indicata con $\tau$ o $\mathrm{d}$, che associa a ogni numero intero positivo $n$ il numero $\tau (n)$ dei suoi divisori, inclusi uno e il numero stesso.

La funzione vale $1$ per $n=1$, vale $2$ per tutti i numeri primi e ha valore maggiore di $2$ per tutti gli altri interi positivi. Inoltre la funzione $\tau$ è una funzione moltiplicativa.

Se $n=p_1^{q_1}{p}_2^{q_2}\cdots p_k^{q_k}$ (dove questa è la fattorizzazione di $n$ in numeri primi), allora vale la formula

$\tau (n)=(q_1+1)(q_2+1)\cdots (q_k+1).$

Da questa scrittura appare evidente che la funzione è dispari se e solo se $n$ è un quadrato perfetto.

Segue una tabella dei valori di $\tau$ per i primi 20 numeri interi positivi:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\tau (n)$	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4
$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$\tau (n)$	2	6	2	4	4	5	2	6	2	6

Proprietà

La funzione divisore appare nei coefficienti della serie di Dirichlet del quadrato della funzione zeta di Riemann:

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\tau \left(n\right)}{n^s}=\zeta {\left(s\right)}^2$

Inoltre, costituisce un caso particolare della funzione sigma, in quanto si ha $\tau \left(n\right)={\sigma }_0\left(n\right)$. In particolare, soddisfa la seguente identità di Lambert:

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{1-x^n}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\tau \left(n\right)x^n$

Codice

In C

int tau (int N){ //la funzione riceve un numero N e restituisce il numero dei suoi divisori (inclusi 1 e N)
	int i, cont=0;
	if( N < 1) return 0; //per N non positivo, restituisce zero
	for(i = 1 ; i <= N; i++)
		if( !(N%i) )
			cont++;
	return cont;
}

Voci correlate

• Funzione sigma sui positivi