Soluzione di Lemaitre

Template:S La soluzione di Lemaître dell'equazione di campo di Einstein studia il comportamento dell'universo in equilibrio dinamico utilizzando la costante cosmologica, anche se con un altro significato rispetto a quello attribuitole da Albert Einstein. Il valore di $\mathrm{\Lambda }$ è maggiore di quello usato da Einstein, in modo da avere un istante iniziale con $R=0$; per questo Lemaître si può considerare il padre del Big Bang.

La forma della soluzione di Lemaître è: $k=\frac{8}{3}\pi {\rho }_{0}G\frac{1}{R}+\frac{1}{3}\mathrm{\Lambda }{R}^2-(HR{)}^2$

dove:

$k$: parametro di curvatura

$\mathrm{\Lambda }$: costante cosmologica

$H$: costante di Hubble

${\rho }_0$

la soluzione può anche essere scritta, ricordando la legge di Hubble $v=HR$, come:

$k=\frac{8}{3}\pi {\rho }_{0}G\frac{1}{R}+\frac{1}{3}\mathrm{\Lambda }{R}^2-{\dot{R}}^2$

In questi modelli si ha che la costante cosmologica ha un valore caratteristico:${\mathrm{\Lambda }}_{*}=-\frac{4k^3}{(8\pi G{\rho }_0{)}^2}$. Si può allora usare questo valore come discriminante per le differenti tipologie di universo, infatti se:

per $\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_{*}$si ha un universo piatto

per $\mathrm{\Lambda }>{\mathrm{\Lambda }}_{*}$ si hanno invece i tre casi in cui a seconda di quanto vale $k$ ho un universo aperto chiuso o aperto critico. In particolare per:

$k<0$: universo chiuso, in cui l'attrazione gravitazionale provoca un rallentamento dell'espansione ed un successivo collasso dell'universo, che quindi comincerà a contrarsi.

$k=0$: universo aperto critico, in cui l'attrazione gravitazionale non è sufficiente a far collassare l'universo su sé stesso come per quello chiuso ma non è nemmeno sufficiente a garantire un'espansione perpetua, si avrà allora un universo che arriverà ad un tempo infinito con velocità zero.

$k>0$: universo aperto, l'energia cinetica è superiore di quella potenziale e quindi l'universo continuerà ad espandersi indefinitamente.

Voci correlate

• Destino ultimo dell'universo
• Equazione di campo di Einstein
• Parametro di curvatura