Identità degli otto quadrati di Degen

In matematica, l'identità degli otto quadrati di Degen stabilisce che il prodotto di due numeri esprimibili come somma di otto quadrati è esso stesso somma di otto quadrati:

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} + a_{6}^{2} + a_{7}^{2} + a_{8}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2} + b_{5}^{2} + b_{6}^{2} + b_{7}^{2} + b_{8}^{2}) =

(a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3} - a_{4} b_{4} - a_{5} b_{5} - a_{6} b_{6} - a_{7} b_{7} - a_{8} b_{8})^{2} +

(a_{2} b_{1} + a_{1} b_{2} + a_{4} b_{3} - a_{3} b_{4} + a_{6} b_{5} - a_{5} b_{6} - a_{8} b_{7} + a_{7} b_{8})^{2} +

(a_{3} b_{1} - a_{4} b_{2} + a_{1} b_{3} + a_{2} b_{4} + a_{7} b_{5} + a_{8} b_{6} - a_{5} b_{7} - a_{6} b_{8})^{2} +

(a_{4} b_{1} + a_{3} b_{2} - a_{2} b_{3} + a_{1} b_{4} + a_{8} b_{5} - a_{7} b_{6} + a_{6} b_{7} - a_{5} b_{8})^{2} +

(a_{5} b_{1} - a_{6} b_{2} - a_{7} b_{3} - a_{8} b_{4} + a_{1} b_{5} + a_{2} b_{6} + a_{3} b_{7} + a_{4} b_{8})^{2} +

(a_{6} b_{1} + a_{5} b_{2} - a_{8} b_{3} + a_{7} b_{4} - a_{2} b_{5} + a_{1} b_{6} - a_{4} b_{7} + a_{3} b_{8})^{2} +

(a_{7} b_{1} + a_{8} b_{2} + a_{5} b_{3} - a_{6} b_{4} - a_{3} b_{5} + a_{4} b_{6} + a_{1} b_{7} - a_{2} b_{8})^{2} +

(a_{8} b_{1} - a_{7} b_{2} + a_{6} b_{3} + a_{5} b_{4} - a_{4} b_{5} - a_{3} b_{6} + a_{2} b_{7} + a_{1} b_{8})^{2}

Scoperta per la prima volta da Ferdinand Degen intorno al 1818, l'identità è stata riscoperta indipendentemente da John Thomas Graves (1843) e Arthur Cayley (1845). Cayley la ottenne studiando un'estensione dei quaternioni chiamata ottonioni. In termini algebrici questa identità implica che la norma del prodotto di due ottonioni è uguale al prodotto delle loro norme: $‖ a b ‖ = ‖ a ‖ ‖ b ‖$ . Affermazioni analoghe si possono fare per i quaternioni (identità dei quattro quadrati di Eulero), i numeri complessi (l'identità di Brahmagupta, con due quadrati) e i numeri reali. Tuttavia, nel 1898 Adolf Hurwitz dimostrò che non può esistere un'identità analoga con 16 quadrati (sedenioni) o per nessun altro numero di quadrati eccetto 1, 2, 4 ed 8.

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