Funzione translogaritmica

La translogaritmica (in inglese translog), che sta per logaritmica trascendente (transcendental logarithmic), è una particolare classe di funzioni, originariamente utilizzata da Berndt e Christensen (1973), che trova utilizzo in economia ed econometria come specificazione flessibile delle funzioni di utilità, produzione e costo.

La forma generale di una funzione translogaritmica è:

$\ln y={\beta }_0+\sum _{i=1}^N{\beta }_i\ln x_i+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\gamma }_{ij}\ln x_i\ln x_j$ (1)

Tale classe di funzioni è detta flessibile perché permette l'analisi degli effetti che, dipendendo dalle derivate seconde, come le elasticità di sostituzione, vengono solitamente assunti dati e costanti nelle forme funzionali "classiche" quali la Cobb-Douglas e la CES.

La translogaritmica può essere vista anche come sviluppo in serie di Taylor al secondo ordine di una generica funzione:

$y=f(𝐱)$

Infatti, trasformando in logaritmi otteniamo:

$\ln y=\ln f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=g(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

Ed esprimendo tutto in funzione dei logaritmi:

$\ln y=g(x_1,x_2,\dots ,x_n)=h(\ln x_1,\ln x_2,\dots ,\ln x_n)$

Sviluppando la funzione in serie di Taylor al secondo ordine attorno al punto $𝐱=[1,1,\dots ,1]$ si ha:

$\ln y=h(\mathrm{𝟎})+\sum _{i=1}^N{h}_i(\mathrm{𝟎})\ln x_i+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{h}_{ij}(\mathrm{𝟎})\ln x_i\ln x_j+\epsilon$

dove:

$h_i(\mathrm{𝟎})={\frac{\partial h(\ln x_1,\ln x_2,\dots ,\ln x_n)}{\partial \ln x_i}|}_{\ln 𝐱=\mathrm{𝟎}}$

$h_{ij}(\mathrm{𝟎})={\frac{{\partial }^{2}h(\ln x_1,\ln x_2,\dots ,\ln x_n)}{\partial \ln x_i\partial \ln x_j}|}_{\ln 𝐱=\mathrm{𝟎}}$

Poiché sia la funzione che le sue derivate, prime e seconde, valutate in uno stesso punto sono costanti, possiamo interpretarle come coefficienti e derivare la formulazione (1).

La Cobb-Douglas come caso particolare della translogaritmica

Nel caso in cui ${\gamma }_{ij}=0$ (con i,j = 1,2,...,N) la translogaritmica diventa:

$\ln y={\beta }_0+\sum _{i=1}^N{\beta }_i\ln x_i$

da cui:

$y=A\prod _{i=1}^N{x}_i^{{\beta }_i}$

che è la forma generale di una Cobb-Douglas.

Bibliografia

• Berndt, E. e Christensen, L. (1973), "The Translog Function and the Substitution of Equipment, Structures and Labor in U.S. Manufacturing, 1929-1968", Journal of Econometrics, 1, 81-114

Voci correlate

• Funzione di produzione Cobb-Douglas
• Funzione di produzione CES
• Funzione di utilità