Distribuzione di Dirichlet

Template:F In teoria della probabilità la distribuzione di Dirichlet, spesso denotata con $\mathrm{Dir}(\mathit{\alpha })$, è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da un vettore di numeri reali positivi $\alpha$, che generalizza la variabile casuale Beta nel caso multivariato. Prende il nome dal matematico tedesco Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Ha come funzione di densità di probabilità

$f(x_1,x_2,\dots ,x_k|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1)\mathrm{\Gamma }({\alpha }_2)\dots \mathrm{\Gamma }({\alpha }_k)}{x}_1^{{\alpha }_1-1}{x}_2^{{\alpha }_2-1}\dots x_k^{{\alpha }_k-1},$

dove $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_k$ e $x_1,\dots ,x_k$ sono numeri reali positivi tali che

$x_1+\cdots +x_k=1.$

Il suo valore atteso è

$E(X_i)=\frac{{\alpha }_i}{\alpha },$

la moda è

$x_i=\frac{{\alpha }_i-1}{\alpha -k},{\alpha }_i>1,$

mentre la varianza è

$\mathrm{Var}(X_i)=\frac{(\alpha -{\alpha }_i){\alpha }_i}{{\alpha }^2(\alpha +1)}.$

Inoltre, per ogni coppia $X_i,X_j$ con $i\ne j$, si ha che la covarianza è

$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=-\frac{{\alpha }_i{\alpha }_j}{{\alpha }^2(\alpha +1)}.$

Teoremi

La distribuzione Beta come caso particolare

Se $k=2$ e $X_2=1-X_1$, allora $X_1$ è distribuita come una variabile casuale Beta $\mathrm{Beta}({\alpha }_1,{\alpha }_2).$

La distribuzione di Dirichlet come distribuzione a priori coniugata della distribuzione Multinomiale

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana la variabile casuale di Dirichlet è una distribuzione a priori coniugata della variabile casuale multinomiale in quanto se si applica alla

$f(x_1,x_2,\dots ,x_k|{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k)={\mathrm{Multinomiale}}_k({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k)$

una distribuzione a priori delle ${\theta }_i$ corrispondente ad una variabile casuale di Dirichlet

$g({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k)={\mathrm{Dir}}_k({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k),$

allora la distribuzione a posteriori delle ${\theta }_i$ è anch'essa una variabile casuale di Dirichlet, ma con i parametri incrementati dai valori osservati:

$g({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k|(x_1,x_2,\dots ,x_k)={\mathrm{Dir}}_k({\alpha }_1+x_1,{\alpha }_2+x_2,\dots ,{\alpha }_k+x_k).$

Questo teorema può essere visto come una generalizzazione multivariata dell'equivalente teorema univariato, che coinvolge variabile casuale binomiale al posto della multinomiale e la variabile casuale Beta al posto della Dirichlet.

Dalla Gamma (Erlang B) alla Dirichlet

Se si hanno $k$ indipendenti variabili casuali distribuite ciascuna come una variabile casuale Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato (si tratta dunque di variabili casuali dette Erlang B, ciascuna con il proprio parametro)

$Y_i\sim \mathrm{Gamma}({\alpha }_i,1),$

definendo la loro somma come

$V=\sum _{i=1}^k{Y}_i\sim \mathrm{Gamma}(\sum _{i=1}^k{\alpha }_i,1),$

allora si ha che

$(X_1,\dots ,X_k)=(Y_1/V,\dots ,Y_k/V)\sim \mathrm{D}\mathrm{i}{\mathrm{r}}_{\mathrm{k}}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k).$

Collegamenti esterni

• SciencesPo: pacchetto R che contiene funzioni per la simulazione di parametri della distribuzione Dirichlet.