Distribuzione Gamma inversa

Template:F In teoria delle probabilità la distribuzione casuale gamma inversa è una distribuzione di probabilità, dipendente da due parametri α e β.

La variabile aleatoria ha come supporto i reali positivi e parametri strettamente maggiori di zero.

$X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^{+}$

$\alpha ,\beta \in {ℝ}^{+}$

La sua funzione di densità di probabilità è 

$f(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\frac{e^{-\frac{\beta }{x}}}{x^{\alpha +1}}$

La funzione di distribuzione cumulativa di probabilità è

$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta /x)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}$

dove $\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta /x)$ è la funzione gamma incompleta e $\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ la funzione gamma di Eulero.

Calcoliamo i momenti semplici della nostra distribuzione

${\mu }_k=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k}f(x)dx=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-\frac{\beta }{x}}}{x^{\alpha +1-k}}dx$

Ora applichiamo la sostituzione $z=\frac{\beta }{x}\iff dz=-\frac{\beta }{x^2}dx=-\frac{z^2}{\beta }dx$ troviamo quindi quanto segue

${\mu }_k=\frac{{\beta }^{\alpha +1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{z^{\alpha -1-k}}{{\beta }^{\alpha +1-k}}{e}^{-z}dz=\frac{{\beta }^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^{\alpha -k-1}{e}^{-z}dz$

Quest'ultimo integrale converge per $\alpha -k\in {ℝ}^{+}\Rightarrow \alpha >k$

nel caso possiamo applicare la definizione integrale della funzione $\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$

${\mu }_k={\beta }^k\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha -k)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}={\beta }^k\prod _{i=1}^k\frac{1}{\alpha -i}$

Da qui possiamo ricavarci il valore atteso della nostra variabile aleatoria

$𝔼[X]=\frac{\beta }{\alpha -1}$ per ogni α > 1

e la sua varianza, che ricordiamo essere

$Var(X):=𝔼[(X-𝔼[X]{)}^2]=𝔼[X^2]-{𝔼}^2[X]$

Che nel nostro caso esisterà per il parametro α > 2

$Var(X)=\frac{{\beta }^2}{(\alpha -1)(\alpha -2)}-\frac{{\beta }^2}{(\alpha -1{)}^2}=\frac{{\beta }^2(\alpha -1)-{\beta }^2(\alpha -2)}{(\alpha -1{)}^2(\alpha -2)}=\frac{{\beta }^2}{(\alpha -1{)}^2(\alpha -2)}$

Procediamo ora ad un semplice calcolo per ottenere la moda della nostra distribuzione

${\left(\frac{df}{dx}\right)}_{x=x^{*}}=0\Rightarrow [\beta {x^{*}}^{-1}-(\alpha +1)]\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x^{*}}^{-(\alpha +2)}{e}^{-\frac{\beta }{x^{*}}}=0$

il secondo fattore di questo prodotto non si annulla mai e può essere semplificato, ottenendo così un'unica soluzione. Pertanto se la derivata si annulla in un solo punto e la funzione vale 0 agli estremi dell'intervallo $[0,\mathrm{\infty })$ in cui è definita positiva, allora il nostro punto è effettivamente un punto di massimo.

$x^{*}=\frac{\beta }{\alpha +1}$

Per cui l'intera distribuzione è maggiorata da

$f(x^{*})=\frac{(\alpha +1{)}^{\alpha +1}}{\beta \mathrm{\Gamma }(\alpha )}{e}^{-(\alpha +1)}$

Distribuzioni collegate

• $X\sim \text{Inv-Gamma}(\alpha ,\beta )$ allora $X\sim \text{Inv-chi-square}(\nu )$ se $\alpha =\frac{\nu }{2}$ e $\beta =\frac{1}{2}$; $X$ è la variabile casuale chi quadro inversa
• $X\sim \text{Gamma}(k,\theta )$ allora $Y\sim \text{Inv-Gamma}(k,\theta )$ se $Y=\frac{1}{X}$; $X$ è la variabile casuale Gamma

Derivazione

$X:\mathrm{\Omega }\to A\subseteq ℝ$

$Y:{\mathrm{\Omega }}^{\prime }\to B\subseteq ℝ$

X è nel nostro caso una variabile aleatoria di tipo Gamma, per cui la sua funzione di densità di probabilità si può scrivere come segue

$f_X(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}$ e l'insieme di supporto A coincide con i reali positivi.

Definiamo quindi la trasformazione a cui associare la nuova variabile aleatoria Y.

$g:A\to B$

$Y=g(X)=\frac{1}{X}$ per cui anche B effettivamente coincide con i reali positivi.

Pertanto procediamo con il calcolare $f_Y(y)$ dato dalla seguente relazione

$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)|$

$f_Y(y)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\cdot y^{-\alpha +1}{e}^{-\frac{\beta }{y}}\frac{1}{y^2}=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\cdot y^{-\alpha -1}{e}^{-\frac{\beta }{y}}$

Che risulta essere proprio la nostra variabile aleatoria discussa finora.

Voci correlate

• Variabile casuale Gamma
• Variabile casuale normale