Minimo comune multiplo

In matematica, il minimo comune multiplo di due numeri interi $a$ e $b$ , indicato con $mcm (a, b)$ , è il più piccolo numero intero positivo multiplo sia di $a$ sia di $b$ . Nel caso particolare in cui uno tra $a$ o $b$ è uguale a zero, allora si definisce $mcm (a, b)$ uguale a zero^[1]. È possibile calcolare il minimo comune multiplo di più di due numeri, sostituendo man mano due dei numeri con il loro comune multiplo e proseguendo fino a che non rimane un solo numero che è il risultato; si può dimostrare che il risultato è lo stesso qualunque sia l'ordine in cui vengono fatte le sostituzioni.

Calcolo del minimo comune multiplo

Per calcolare il minimo comune multiplo, si possono usare vari procedimenti equivalenti.

Partendo dal MCD

Il minimo comune multiplo è utile quando occorre sommare due o più frazioni. La regola per la somma di frazioni richiede infatti di cominciare con il trasformarle in modo che tutti i denominatori siano uguali; a questo punto si possono sommare i numeratori, e usare il valore comune dei denominatori come denominatore. Il più piccolo denominatore che si può usare, detto minimo comune denominatore, è proprio il minimo comune multiplo dei denominatori. Il minimo comune multiplo di due numeri $a$ e $b$ diversi da zero può essere calcolato usando il massimo comun divisore (MCD) di $a$ e $b$ e la formula seguente:

mcm (a, b) = \frac{a \cdot b}{MCD (a, b)} .

Per esempio:

mcm (21, 6) = \frac{21 \cdot 6}{MCD (21, 6)} = \frac{21 \cdot 6}{3} = 42 .

Per semplificare i conteggi ci si può ricordare che per costruzione il MCD tra due numeri è divisore di ciascuno di loro; si può pertanto cominciare a dividere uno dei numeri per il massimo comun divisore e poi moltiplicare il risultato per il secondo numero. In questo esempio abbiamo così $21 : 3 \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42 .$ . Per calcolare velocemente il minimo comune multiplo si può usare l'algoritmo di Euclide.

Con semplificazione e moltiplicazione a croce

Una variante del metodo precedente permette di semplificare automaticamente il MCD e di verificare il risultato ottenuto. Se per esempio si vuole trovare il $mcm (12, 8)$ , i passi sono i seguenti.

Si deve ridurre ai minimi termini la frazione avente come numeratore e denominatore i due numeri di cui si deve trovare il minimo comune multiplo: $\frac{12}{8} = \frac{3}{2} .$
Si esegue la "moltiplicazione a croce": $12 \times 2 = 8 \times 3 .$
I due prodotti saranno uguali e corrispondono al minimo comune multiplo: $12 \times 2 = 8 \times 3 = 24$ .

Il ridurre ai minimi termini la frazione costruita con i due numeri è infatti equivalente a dividere ciascuno di essi per il massimo comun divisore, e la moltiplicazione a croce completa il prodotto del metodo precedente.

Usando il teorema fondamentale dell'aritmetica

Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero maggiore di $1$ può essere scritto in un modo unico come prodotto di fattori primi. I numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un numero composto.

Per esempio:

90 = 2^{1} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1} = 2 \cdot 9 \cdot 5

Il numero composto $90$ è costituito da un elemento uguale al numero primo $2$ , due elementi uguali al numero primo $3$ e un elemento uguale al numero primo $5$ .

Si può usare questo teorema per trovare facilmente il mcm di un gruppo di numeri.

Per esempio: calcolare il $mcm (45, 120, 75)$ .

45 = 3^{2} \cdot 5^{1}

120 = 2^{3} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1}

75 = 3^{1} \cdot 5^{2}

Il minimo comune multiplo è il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente. Quindi

mcm (45, 120, 75) = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 1800 .

Il vantaggio di questo metodo è che può essere direttamente usato per calcolare il minimo comune multiplo di più numeri; lo svantaggio è che non sempre è facile trovare la scomposizione in fattori dei numeri di partenza.