Disequazione logaritmica

Una disequazione logaritmica è una disequazione in cui l'incognita compare come argomento o come base di un logaritmo, come ad esempio $lo{g}_2(x+6)<9$. È una disequazione trascendente, in quanto non riconducibile a somme o prodotti di polinomi. Non è una disequazione logaritmica una disequazione del tipo $x^5+44x+lo{g}_{3}7>0$, perché l'incognita non compare né come argomento né come base del logaritmo.

Risoluzione di una disequazione logaritmica

Per la risoluzione di una disequazione logaritmica del tipo $lo{g}_{a}b<c$ si deve cercare di ridurre la disequazione in forma canonica utilizzando le proprietà del logaritmi:

$lo{g}_{a}b<c$ → $lo{g}_{a}b<lo{g}_{a}k$, dove $lo{g}_{a}k=c$ Ricordando come varia la monotonia della funzione logaritmica in funzione della base (il logaritmo è una funzione crescente per basi $a>1$ e decrescente per basi $0<a<1$), si hanno due casi:

$a>1$:$lo{g}_{a}b<lo{g}_{a}k$→$b<k$

$0<a<1$:$lo{g}_{a}b<lo{g}_{a}k$→$b>k$.

Esempio: $lo{g}_2(x+5)<3$.

$3$ può essere riscritto come $lo{g}_{2}8$. Pertanto:

$lo{g}_2(x+5)<3$→$lo{g}_2(x+5)<lo{g}_{2}8$→$x+5<8$→$x<3$

Bibliografia

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Voci correlate

• Logaritmo
• Disequazione