Teorema della base di Hilbert

In matematica, il teorema della base di Hilbert è un risultato dell'algebra commutativa, fondamentale nello studio degli anelli noetheriani. Esso afferma che, se $A$ è noetheriano, allora l'anello dei polinomi $A[x]$ è ancora noetheriano; ricorsivamente, questo dimostra che $A[x_1,\dots ,x_n]$, così come ogni $A$-algebra finitamente generata, è un anello noetheriano.

Il teorema è stato dimostrato per la prima volta da David Hilbert nel 1888 nel caso in cui $A$ è un campo, e poi generalizzato nella forma attuale da Emmy Noether. Una dimostrazione costruttiva (a differenza di quella di Hilbert) fu data da Paul Gordan nel 1900.

Il risultato è anche importante in geometria algebrica, in quanto dimostra che ogni insieme algebrico può essere definito da un numero finito di equazioni polinomiali.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che $A[x]$ non sia noetheriano; allora, esiste un ideale $I\subseteq A[x]$ non finitamente generato. Costruiamo una successione $p_0,p_1,\dots ,p_n,\dots$ di polinomi nel modo seguente:

• $p_0$ è un elemento di $I$ di grado minimo (tra gli elementi di $I$);
• $p_n$ è un elemento di $I\setminus (p_0,\dots ,p_{n-1})$ di grado minimo tra gli elementi di $I\setminus (p_0,\dots ,p_{n-1})$.

Sia $a_i$ il coefficiente direttore di $p_i$, e sia $d_i$ il grado di $p_i$.

Sia $J$ l'ideale di $A$ generato dagli $a_i$; poiché $A$ è noetheriano, $J$ è finitamente generato. In particolare, $J$ è generato da $a_0,\dots ,a_{N-1}$ per un certo intero $N$.

In particolare, si può scrivere $a_N=\sum _{i=0}^{N-1}{e}_i{a}_i,e_i\in A$; consideriamo il polinomio

$q(x):=\sum _{i=0}^{N-1}{e}_i{x}^{d_N-d_i}{p}_i(x)$.

Per definizione, $q(x)$ appartiene a $(p_0,\dots ,p_{N-1})$; inoltre, $q(x)$ è un polinomio di grado $d_N$ il cui coefficiente direttore è $\sum _{i=0}^{N-1}{e}_i{a}_i=a_N$. In particolare, il polinomio

$q(x)-p_N(x)$

è un polinomio di grado $d_N-1$ che appartiene a $I$ (perché vi appartengono sia $q(x)$ che $p_N(x)$) ma non a $(p_0,\dots ,p_{N-1})$ (perché vi appartiene $q(x)$ ma non $p_N(x)$). Questo tuttavia contrasta con la scelta di $p_N$ come polinomio di grado minimo in $I\setminus (p_0,\dots ,p_{N-1})$: di conseguenza, $I$ deve essere un ideale finitamente generato, e $A[x]$ è un anello noetheriano.

Bibliografia

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