Prebase

In matematica, e più precisamente in topologia, una prebase (o sottobase) è una particolare collezione di aperti di uno spazio topologico che ne determina la topologia. Il concetto è strettamente collegato a quello di base.

Definizione

Una prebase di una topologia $𝒯$ per un insieme $X$ è una famiglia $𝒮$ di insiemi aperti, ovvero $S\subseteq 𝒯$, tale che la famiglia delle intersezioni finite di elementi di $𝒮$ è una base della topologia di $X$, cioè l'insieme $\{X\in 𝒯|\mathrm{\exists }{X}_1,X_2,...,X_n\in S,X=\bigcap _{i=1}^n{X}_i\}$ deve essere una base per $𝒯$.

Proprietà

Dato un ricoprimento S di un insieme X è possibile definire una topologia su $X$ di cui S è una prebase. La topologia può essere definita in vari modi equivalenti:

• la topologia meno fine fra tutte quelle che contengono $𝒮$,
• la topologia generata dall'insieme $ℬ$ delle intersezioni finite degli elementi di $𝒮$ (che risulterà una base di tale topologia)
• la topologia i cui aperti sono unioni (di cardinalità arbitraria) di elementi di $ℬ$

Bibliografia

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Voci correlate

• Spazio topologico
• Base

Collegamenti esterni

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