Funzione sigma

I primi 250 valori della funzione σ

La funzione $\sigma \left(n\right)$ è una funzione aritmetica, definita come la somma di tutti i divisori positivi di un numero naturale $n$:

$\sigma \left(n\right)=\sum _{d|n}d.$

La funzione sigma generalizzata è invece definita come la somma delle $\alpha$-esime potenze dei divisori di $n$:

${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)=\sum _{d|n}{d}^{\alpha }.$

Valori della funzione

Per $n\ge 2$, il valore di $\sigma (n)$ è sempre maggiore o uguale del numero $n$ stesso più $1$, perché ogni numero e $1$ sono divisori del numero stesso: si ha $\sigma (n)\ge n+1$, con l'uguaglianza se e solo se $n$ è un numero primo. Se invece $n$ è composto, vale la disuguaglianza più forte $\sigma (n)\ge n+\sqrt{n}+1$.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
σ(n)	1	3	4	7	6	12	8	15	13	18
n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
σ(n)	12	28	14	24	24	31	18	39	20	42

Proprietà

La funzione sigma è una funzione moltiplicativa, ma non completamente moltiplicativa; da questo si può ricavare una formula compatta per il calcolo di questa funzione. Sia $n=p_1^{q_1}{p}_2^{q_2}\cdots p_k^{q_k}$.

$\sigma (p_i^{q_i})=1+p_i+p_i^2+p_i^3+\cdots +p_i^{q_i}=\frac{p_i^{q_i+1}-1}{p_i-1},$

essendo una serie geometrica, e quindi

$\sigma (n)=\frac{p_1^{q_1+1}-1}{p_1-1}\frac{p_2^{q_2+1}-1}{p_2-1}\cdots \frac{p_k^{q_k+1}-1}{p_k-1}=\prod _{i=1}^k\frac{p_i^{q_i+1}-1}{p_i-1}.$

Soddisfa l'identità

${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)=\prod _{p^m|n}\frac{p^{\alpha (m+1)}-1}{p^{\alpha }-1}.$

Altre due notevoli identità che riguardano la funzione sigma sono

$-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln (1-x^n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{-1}\left(n\right)x^n,$

e

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_{\alpha }\left(n\right)}{n^s}=\zeta \left(s\right)\zeta (s-\alpha ),$

dove $\zeta \left(s\right)$ è la funzione zeta di Riemann.

La funzione ${\sigma }_0(n)$ è anche nota come funzione tau.

Casi particolari

La funzione sigma generalizzata con $\alpha =0$, ${\sigma }_0(n)$ restituisce il numero totale di divisori di $n$. Sia n scomponibile in fattori primi come $n=p_1^{q_1}{p}_2^{q_2}\cdots p_k^{q_k}$, allora

${\sigma }_0(n)=\prod _{i=1}^k(q_i+1).$

Ad esempio, il numero di divisori del numero $24=2^3\cdot 3$ possono essere calcolati come

${\sigma }_0(24)=\prod _{i=1}^2(q_i+1)=(3+1)\cdot (1+1)=8.$

In effetti il numero 24 ha 8 divisori (1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24).

Codice

In C:

int sigma( int N ){//la funzione riceve un intero naturale N e restituisce la somma dei suoi divisori
	int i, res=0;
	if (N<1) return 0;//se N è non positivo, restituisce zero
	for (i=1; i<=N; i++)
		if( !(N%i) ) // equivalente a (N%i)==0
			res+=i;
	return res;
}

Voci correlate

• Funzione tau sui positivi

Collegamenti esterni

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