Disuguaglianze di Boole e di Bonferroni

Template:F In teoria della probabilità, la disuguaglianza di Boole, nota anche come limite per l'unione, afferma che per ogni collezione finita o numerabile di eventi, la probabilità che accada almeno uno degli eventi è minore o uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Questa disuguaglianza viene generalizzata da due disuguaglianze di Bonferroni.

Disuguaglianza di Boole

Consideriamo un insieme finito o numerabile di eventi A₁, A₂, A₃, ... . Per esso vale la disuguaglianza

$P\left(\bigcup _i{A}_i\right)\le \sum _{i}P\left(A_i\right)$

Disuguaglianze di Bonferroni

Nel caso di collezioni finite di eventi, la precedente disuguaglianza può venire generalizzata nelle cosiddette disuguaglianze di Bonferroni le quali forniscono estremi superiori e inferiori alla probabilità per l'unione di tali eventi.

Introduciamo le seguenti quantità:

$S_1:=\sum _{i=1}^{n}P(A_i),$

$S_2:=\sum _{i<j}P(A_i\cap A_j),$

e per 2 < k ≤ n,

$S_k:=\sum P(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}),$

dove si intende che la somma sia da effettuare sopra tutte le k-uple di interi $i_1,i_2,\cdots ,i_k$ soddisfacenti $i_1<i_2<\cdots <i_k$.

Per gli interi dispari k ≥ 1 si dimostra che

$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le \sum _{j=1}^k(-1{)}^{j+1}{S}_j,$

mentre per gli interi pari k ≥ 2

$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\ge \sum _{j=1}^k(-1{)}^{j+1}{S}_j.$

La disuguaglianza di Boole si ottiene come caso particolare relativo a k = 1.

Voci correlate

• George Boole
• Carlo Emilio Bonferroni
• Probabilità
• Teorema della probabilità totale

Collegamenti esterni

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