Funzione caratteristica (teoria della probabilità)

Nella teoria della probabilità, la funzione caratteristica di una generica distribuzione di probabilità definita sulla retta reale, concetto principalmente sistematizzato da Lukacs, è genericamente una qualsiasi funzione del tipo:

${\varphi }_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)=\underset{ℝ}{\int }{e}^{itx}d{F}_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X(x)e^{itx}dx,$

dove $X$ è una qualsiasi variabile casuale con la distribuzione in questione, $t$ è un numero reale, $\mathrm{E}$ indica il valore atteso e $F$ è la funzione di distribuzione cumulativa. La prima definizione è un integrale di Riemann-Stieltjes ed è valida indipendentemente dall'esistenza della funzione di densità di probabilità $f$, mentre la seconda è valida nel caso in cui la densità esista.

Se $X$ è una variabile casuale vettoriale, si può considerare l'argomento $t$ come vettore e $tX$ come prodotto scalare.

Descrizione

Una funzione caratteristica esiste per ogni variabile casuale. Inoltre, esiste una biiezione fra funzioni di distribuzione cumulativa e funzioni caratteristiche. In altre parole, due distribuzioni di probabilità non condividono mai la stessa funzione caratteristica, a meno che non coincidano.

Data una funzione caratteristica $\varphi$, è possibile ricostruire la funzione di ripartizione $F$:

$F_X(y)-F_X(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-itx}-e^{-ity}}{it}{\varphi }_X(t)dt.$

In generale questo è un integrale improprio; la funzione integranda può essere anche condizionatamente integrabile piuttosto che Lebesgue-integrabile, cioè l'integrale del suo valore assoluto può essere infinito.

Si può inoltre accedere, qualora esista, alla funzione di densità di probabilità operando come segue

$\frac{F_X(x+\xi )-F_X(x-\xi )}{2\xi }=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-it(x-\xi )}-e^{-it(x+\xi )}}{2it\xi }{\varphi }_X(t)dt=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{it\xi }-e^{-it\xi }}{2it\xi }{e}^{-itx}{\varphi }_X(t)dt.$

Compare così la definizione di seno all'interno dell'integrale

$\frac{F_X(x+\xi )-F_X(x-\xi )}{2\xi }=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (t\xi )}{t\xi }{e}^{-itx}{\varphi }_X(t)dt.$

Facendo il limite di $\xi \to 0$ otteniamo

$\underset{\xi \to 0}{\lim }\frac{F_X(x+\xi )-F_X(x-\xi )}{2\xi }=f_X(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-itx}{\varphi }_X(t)dt.$

Le funzioni caratteristiche sono usate nella dimostrazione più comune del teorema del limite centrale.

Le funzioni caratteristiche possono essere anche usate per trovare i momenti di una variabile casuale. A condizione che il momento $n$-esimo esista, la funzione caratteristica può essere derivata $n$ volte e

$\mathrm{E}\left(X^n\right)=(-i{)}^n{\varphi }_X^{(n)}(0)=(-i{)}^n{[\frac{d^n}{d{t}^n}{\varphi }_X(t)]}_{t=0}.$

Nozioni correlate includono la funzione generatrice dei momenti e la funzione generatrice di probabilità.

La funzione caratteristica è strettamente legata alla trasformata di Fourier: la funzione caratteristica di una distribuzione con funzione di densità $f$ è proporzionale alla trasformata di Fourier inversa di $f$.

Le funzioni caratteristiche sono particolarmente utili nel trattare funzioni di variabili casuali indipendenti. Ad esempio, se $X_1,X_2,\dots ,X_n$ è una successione di variabili casuali indipendenti, e

$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i,$

dove le $a_i$ sono costanti, allora la funzione caratteristica per $S_n$ è data da

${\varphi }_{S_n}(t)=\prod _{i=1}^n{\varphi }_{X_i}(a_{i}t).$

Bibliografia

• Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003

Voci correlate

• Funzione di distribuzione
• Funzione di densità di probabilità

Collegamenti esterni

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