Polinomio di Bernoulli

In matematica, i polinomi di Bernoulli si incontrano nello studio di molte funzioni speciali e in particolare della funzione zeta di Riemann e della funzione zeta di Hurwitz. Questo in gran parte è dovuto al fatto che essi costituiscono la sequenza di Sheffer relativa all'ordinario operatore di derivazione. Contrariamente alle successioni di polinomi ortogonali, la successione dei polinomi di Bernoulli è caratterizzata dal fatto che il numero delle intersezioni con l'asse delle x nell'intervallo unitario non cresce illimitatamente al crescere del grado dei polinomi. Al crescere del grado i polinomi di Bernoulli, sottoposti ad appropriate omotetie, approssimano le funzioni seno e coseno.

Funzioni generatrici

La funzione generatrice dei polinomi di Bernoulli è

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}$ .

La funzione generatrice dei polinomi di Eulero è invece

$\frac{2e^{xt}}{e^t+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Caratterizzazione mediante un operatore differenziale

I polinomi di Bernoulli si possono anche definire come:

$B_n(x):=\frac{D}{e^D-1}{x}^n,$

dove $D:=\frac{d}{dx}$ denota la differenziazione rispetto alla $x$ e la frazione va sviluppata come serie formale di potenze.

Allo stesso modo, i polinomi di Eulero sono dati da:

$E_n(x)=\frac{2}{e^D+1}{x}^n.$

Formula esplicita

Una formula esplicita per i polinomi di Bernoulli è la seguente:

$B_m(x)=\sum _{n=0}^m\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x+k{)}^m.$

Si osserva la rilevante somiglianza con l'espressione mediante la serie globalmente convergente per la funzione zeta di Hurwitz. In effetti si ha

$B_n(x)=-n\zeta (1-n,x),$

dove $\zeta (s,q)$ denota la zeta di Hurwitz; in un certo senso, la zeta di Hurwitz estende i polinomi di Bernoulli ai valori non interi della $n.$

Una formula esplicita per i polinomi di Eulero è data da:

$E_m(x)=\sum _{n=0}^m\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x+k{)}^m.$

I numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero

I numeri di Bernoulli sono dati da $B_n=B_n(0).$

A loro volta i numeri di Eulero sono dati da $E_n=2^n{E}_n(1/2).$

Espressioni esplicite per i polinomi dei gradi minori

I primi componenti della successione dei polinomi di Bernoulli sono:

$B_0(x)=1;$

$B_1(x)=x-\frac{1}{2};$

$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6};$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x;$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30};$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-\frac{1}{6}x;$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{42}.$

I polinomi di Eulero dei gradi più bassi sono:

$E_0(x)=1;$

$E_1(x)=x-\frac{1}{2};$

$E_2(x)=x^2-x;$

$E_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{4};$

$E_4(x)=x^4-2x^3+x;$

$E_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{2}{x}^2-\frac{1}{2};$

$E_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x.$

Differenze

I polinomi di Bernoulli e quelli di Eulero ubbidiscono molte relazioni fornite dal calcolo umbrale:

$B_n(x+1)-B_n(x)=n{x}^{n-1};$

$E_n(x+1)+E_n(x)=2x^n.$

Derivate

Ciascuna delle due successioni di polinomi è una sequenza polinomiale e più precisamente una sequenza di Appel:

${B_n}^{\prime }(x)=n{B}_{n-1}(x);$

${E_n}^{\prime }(x)=n{E}_{n-1}(x).$

Traslazioni

$B_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k(x)y^{n-k};$

$E_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})E_k(x)y^{n-k}.$

Queste identità sono equivalenti ad affermare che ciascuna di queste successioni polinomiali è una sequenza di Appel. Un altro esempio di queste successioni è fornito dai polinomi di Hermite.

Simmetrie

$B_n(1-x)=(-1{)}^n{B}_n(x);$

$E_n(1-x)=(-1{)}^n{E}_n(x);$

$(-1{)}^n{B}_n(-x)=B_n(x)+n{x}^{n-1};$

$(-1{)}^n{E}_n(-x)=-E_n(x)+2x^n.$

Serie di Fourier

La serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli è anche una serie di Dirichlet e un caso speciale di funzione zeta di Hurwitz

$B_n(x)=-\mathrm{\Gamma }(n+1)\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi ikx)+\exp (2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik{)}^n}.$

Inversione

Può essere utile esprimere le potenze della variabile come combinazioni lineari dei polinomi di Bernoulli. Specificamente si ha

$x^n=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})B_k(x).$

Queste uguaglianze e le espressioni esplicite dei polinomi di Bernoulli vanno viste come le identità di collegamento tra le due basi dello spazio vettoriale dei polinomi fornite dalle potenze della variabile e dai polinomi di Bernoulli.

Collegamento con i fattoriali decrescenti

Un'altra coppia di successioni di identità di collegamento fra basi dello spazio vettoriale dei polinomi riguarda i polinomi di Bernoulli e i fattoriali decrescenti. I polinomi di Bernoulli sono espressi come combinazioni lineari di fattoriali decrescenti $(x{)}_k$ dalle

$B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^n\frac{n+1}{k+1}\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}(x{)}_{k+1},$

dove $B_n:=B_n(0)$ e

$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}=S(n,k)$

denota il numero di Stirling di seconda specie. Viceversa i fattoriali decrescenti sono espressi come combinazioni lineari di polinomi di Bernoulli:

$(x{)}_{n+1}=\sum _{k=0}^n\frac{n+1}{k+1}\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right](B_{k+1}(x)-B_{k+1}),$

dove

$\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]=s(n,k)$

denota il numero di Stirling di prima specie.

Teoremi di moltiplicazione

Questi teoremi di moltiplicazione sono stati dati da Joseph Ludwig Raabe nel 1851:

$B_n(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}{B}_n(x+\frac{k}{m});$

$E_n(mx)=m^n\sum _{k=0}^{m-1}(-1{)}^k{E}_n(x+\frac{k}{m}),\text{per }m=1,3,\dots ;$

$E_n(mx)=\frac{-2}{n+1}{m}^n\sum _{k=0}^{m-1}(-1{)}^k{B}_{n+1}(x+\frac{k}{m}),\text{per }m=2,4,\dots .$

Integrali

Integrali indefiniti

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}dt{B}_n(t)=\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1};$

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}dt{E}_n(t)=\frac{E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}.$

Integrali definiti

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}dt{B}_n(t)B_m(t)=(-1{)}^{n-1}\frac{m!n!}{(m+n)!}{B}_{n+m},\text{per }m,n\ge 1;$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}dt{E}_n(t)E_m(t)=(-1{)}^{n}4(2^{m+n+2}-1)\frac{m!n!}{(m+n+2)!}{B}_{n+m+2}.$

Bibliografia

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover (Vedi Chapter 23)
• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 12.11)
• Jesus Guillera, Jonathan Sondow, Template:Collegamento interrotto (2005) (Rassegna della relazione tra funzione zeta di Hurwitz e funzione trascendente di Lerch.)

Voci correlate

• Numeri di Bernoulli
• Polinomi calcolanti somme di potenze di progressioni aritmetiche