Funzione cubica

Polinomio di terzo grado

In matematica per funzione cubica si intende una funzione data da un'espressione della forma

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,$

dove a è un numero reale o complesso diverso da zero; in altre parole una funzione cubica è una funzione data da un polinomio di terzo grado. La derivata di una funzione cubica è una funzione quadratica, mentre l'integrale indefinito di una funzione cubica è una funzione di quarto grado.

Derivata e punti critici

La derivata della funzione cubica, $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ e la richiesta $f^{\prime }(x)=0$ implicano

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a}$ .

Questa espressione simile alla formula per la soluzione dell'equazione quadratica, può essere usata per trovare i punti critici di una funzione cubica. Si trova quindi che

se $b^2-3ac>0$, allora la funzione cubica ha due punti critici, un massimo locale e un minimo locale;

se $b^2-3ac<0$, allora non vi sono punti critici.

se $b^2-3ac=0$, allora non vi sono estremanti, ma vi è un punto di flesso in $-b/3a$

Cubiche bipartite

La curva di equazione

$y^2=x(x-a)(x-b)$ dove $0<a<b$

viene chiamata cubica bipartita. Essa si incontra nella teoria delle curve ellittiche.

Si può ottenere il suo grafico con qualche strumento per la raffigurazione delle funzioni reali applicato alla funzione

$g(x)=\sqrt{x(x-a)(x-b)}$

corrispondente alla metà superiore della cubica bipartita. Essa è definita nell'insieme dell'asse reale

$(0,a)\cup (b,+\mathrm{\infty }).$

Formula per le radici

La formula generale che consente di trovare i valori esatti delle radici delle funzioni cubiche è piuttosto complicata. Quindi può essere opportuno servirsi in alternativa del test della radice razionale o ricercare una soluzione numerica.

Riferiamoci alle costanti che compaiono nell'espressione

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

Valutiamo

$q=\frac{3ac-b^2}{9a^2}$ e

$r=\frac{9abc-27a^{2}d-2b^3}{54a^3}$

e successivamente

$s=\sqrt[3]{\frac{r}{2}+\sqrt{\frac{q^3}{27}+\frac{r^2}{4}}}$ e

$t=\sqrt[3]{\frac{r}{2}-\sqrt{\frac{q^3}{27}+\frac{r^2}{4}}}$ .

Le soluzioni sono date da

$x_1=s+t-\frac{b}{3}$

$x_2=-\frac{1}{2}(s+t)-\frac{b}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}(s-t)i$

$x_3=-\frac{1}{2}(s+t)-\frac{b}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}(s-t)i$

Voci correlate

• Equazione di terzo grado
• Funzione spline

Collegamenti esterni

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