Legge delle aspettative iterate

Nella teoria della probabilità, la legge delle aspettative iterate, o legge dell'aspettativa totale, o legge delle aspettazioni iterate, o legge dei valori attesi iterati (anche conosciuta sotto una varietà di ulteriori denominazioni), afferma che se $X$ è una variabile casuale integrabile — ossia, tale che $\text{E}|X|<\mathrm{\infty }$ — e $Y$ è un'ulteriore variabile casuale, non necessariamente integrabile, definita sul medesimo spazio di probabilità, allora:

$\text{E}[\text{E}[X|Y]]=\text{E}[X]$

ossia, il valore atteso del valore atteso di $X$ condizionato rispetto a $Y$ è uguale al valore atteso di $X$ stesso.

Si osservi che:

• Il valore atteso condizionato $\text{E}[X|Y]$ è una variabile casuale;
• Il valore atteso di $X$ condizionato all'evento $\{Y=y\}$, $\text{E}[X|Y=y]$, è a sua volta funzione di $y$.

Voci correlate

• Teorema della probabilità totale
• Legge della varianza totale