Numero di Froude

In meccanica dei fluidi il numero di Froude (abbreviato come $\mathrm{F}\mathrm{r}$ o $\mathrm{F}\mathrm{n}$) è un gruppo adimensionale che mette in relazione la forza d'inerzia e il peso; deve il suo nome a quello dell'ingegnere idrodinamico ed architetto navale inglese William Froude.

Definizione

Il numero di Froude è definito come la radice quadrata del rapporto fra forza d'inerzia e peso, che conduce a:

$\mathrm{F}\mathrm{r}=\frac{V_0}{\sqrt{g{L}_0}}$

dove:

• $L$₀ è una lunghezza di riferimento [m];
• $V_0$ è il modulo di una velocità di riferimento [m/s];
• $g$ è il modulo dell'accelerazione di gravità [m/s²].

Il numero di Froude può essere anche espresso in funzione del numero di Richardson (è infatti il reciproco della sua radice quadrata).

L'inverso del numero di Froude è pari al numero di Reech.

Origine

Per ricavare l'espressione del numero di Froude, si esprime il rapporto tra forza d'inerzia e forza peso in termini generali.

La forza d'inerzia ($\overrightarrow{F}$) può essere scritta, in base al secondo principio della dinamica classica, come prodotto tra massa ($m$) ed accelerazione ($\overrightarrow{a}$):

$\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$

In una situazione generica, considerando l'equazione in termini di modulo dei vettori, si considera una massa di riferimento $m_0$, mentre l'accelerazione $a$ può essere espressa come il rapporto tra una lunghezza di riferimento $L_0$ e il quadrato di un tempo di riferimento $t_0$, cioè:

$F=\frac{m_0{L}_0}{t_0^2}$

moltiplicando e dividendo per $L_0$, si ottiene:

$F=\frac{m_0{L}_0^2}{t_0^2{L}_0}$

Si pone $\frac{L_0}{t_0}$ pari ad una velocità di riferimento $V_0$, per cui:

$F=\frac{m_0{V}_0^2}{L_0}$

La forza peso $P$ risulta essere il prodotto tra massa di un corpo ed accelerazione di gravità agente su di esso, ovvero:

$P=m\cdot g$

Ricorrendo a delle grandezze di riferimento, possiamo scrivere:

$P=m_0\cdot g$

Dividendo membro a membro le espressioni delle due forze in termini di grandezze di riferimento, abbiamo:

$\frac{F}{P}=\frac{\left(\frac{m_0{V}_0^2}{L_0}\right)}{m_{0}g}=\frac{V_0^2}{g{L}_0}$

a questo punto, mettendo il rapporto delle forze sotto radice, si ottiene l'espressione del numero di Froude:

$\sqrt{\frac{F}{P}}=\sqrt{\frac{V_0^2}{g{L}_0}}=\frac{V_0}{\sqrt{g{L}_0}}=\mathrm{F}\mathrm{r}$

Adimensionalità

Per verificare l'adimensionalità del numero di Froude si sfrutta l'analisi dimensionale, cioè si esprimono i parametri in termini di grandezze fondamentali nel sistema internazionale di unità di misura.

Considerando l'equazione dimensionale:

$[\mathrm{F}\mathrm{r}]=\frac{[V]}{[\sqrt{g\cdot h}]}=\frac{[m\cdot s^{-1}]}{[m\cdot s^{-2}\cdot m{]}^{\frac{1}{2}}}=\frac{[m]\cdot [s{]}^{-1}}{[m]\cdot [s{]}^{-1}}=1$

Siccome il risultato dell'eguaglianza è un valore numerico privo di unità di misura, ne discende che il numero di Froude è un numero adimensionale.

Applicazioni

Correnti fluviali a pelo libero

Template:Vedi anche Per lo studio delle correnti a pelo libero, la lunghezza caratteristica $L_0$ del numero di Froude assume il valore dell'altezza del tirante idrico $h_m$ della sezione trasversale fluviale rettangolare di area uguale a quella della sezione trasversale considerata, quindi:

$\mathrm{F}\mathrm{r}=\frac{U}{\sqrt{g\cdot h_m}}=\frac{U}{\sqrt{g\cdot A/B}}$

dove:

• $U$ è la velocità media della corrente nella sezione trasversale del fiume, in m/s;
• $A$ è l'area bagnata nella sezione, in m²;
• $B$ è la larghezza del pelo libero in superficie nella sezione, in m;
• $h_m$ è l'altezza del tirante idrico della sezione rettangolare di area uguale a quella della sezione considerata, in m.

Dal numero di Froude si può determinare:

• se la corrente in una certa sezione trasversale sarà subcritica (lenta), critica o supercritica (veloce);
• se quando c'è il passaggio della corrente attraverso l'altezza critica si verifica un risalto idraulico o un Template:Chiarire;
• il tipo di risalto idraulico che si verifica.

Corrente subcritica, critica e supercritica

La seguente trattazione parte dall'ipotesi che il vettore velocità della perturbazione abbia una componente verticale costante, perciò non rientrano tra queste le comuni onde marine e le onde generate dalle navi con il loro moto (le onde a cui Froude era maggiormente interessato).

Il numero di Froude ha un significato cinematico correlato alla tipologia di regime di moto di una corrente a pelo libero, che può essere di tipo subcritico, critico o supercritico. Inoltre, si può dimostrare che per un liquido incomprimibile confinato inferiormente in un canale, la quota del pelo libero dipende dal numero di Froude.

A tal fine, si consideri una perturbazione della superficie libera di ampiezza infinitesima $dh$ che risale la corrente con velocità di modulo $v$, assunto positivo quando il vettore velocità della perturbazione $\overrightarrow{v}$ è di verso opposto al vettore velocità della corrente $\overrightarrow{U}$ e negativo quando il vettore $\overrightarrow{v}$ ha lo stesso verso del vettore $\overrightarrow{U}$. A causa dell'innalzamento della superficie libera in prossimità della perturbazione si ha un rallentamento infinitesimo della corrente $dU$.

Si applicano i bilanci di massa e di energia Template:Chiarire, assunto il moto unidirezionale rispetto all'asse orizzontale e quindi considerando solo i moduli dei vettori velocità, $U$ per $\overrightarrow{U}$ e $v$ per $\overrightarrow{v}$.

• dal bilancio di massa si ricava:

  $(U+v)\cdot h_m=(U+v-dU)\cdot (h_m+dh)$

• dal bilancio di energia si ricava:

  $h_m+z+\frac{1}{2g}(U+v{)}^2=h_m+dh+z_f+\frac{1}{2g}(U+v-dU{)}^2$

  dove $z_f$ indica la quota del fondo del canale.

Dal bilancio di massa, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ricava la seguente l'espressione:

$(U+v)\cdot h_m=(U+v)\cdot h_m+(U+v)\cdot dh-dU\cdot h_m$

la quale semplificata equivale a:

$0=(U+v)\cdot dh-dU\cdot h_m$.

Riarrangiando i termini si ottiene:

$(U+v)\cdot dh=dU\cdot h_m$.

Sfruttando l'equazione del bilancio di energia e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ricava la seguente espressione:

$\frac{1}{2g}(U+v{)}^2=dh+\frac{1}{2g}((U+v{)}^2-2(U+v)\cdot dU)$

che semplificata equivale a:

$dh=\frac{1}{g}(U+v)\cdot dU$.

Inserendo tale espressione di $dh$ nell'equazione del bilancio di massa, si ottiene:

$\frac{1}{g}(U+v{)}^2\cdot dU=dU\cdot h$

Semplificato il termine $dU$ e moltiplicando entrambi i membri dell'equazioni per $g$, si ottiene:

$(U+v{)}^2=g\cdot h_m$.

Applicando la radice quadra ad entrambi i membri dell'equazione si ottengono le seguenti due soluzioni distinte $v_1$ e $v_2$:

$\{\begin{array}{c}U+v_1=+\sqrt{g\cdot h_m}\\ U+v_2=-\sqrt{g\cdot h_m}\end{array}$

Esplicitando $v$ nelle due equazioni si ha:

$\{\begin{array}{c}{v}_1=-U+\sqrt{g\cdot h_m}\\ v_2=-U-\sqrt{g\cdot h_m}\end{array}$

La velocità di un lato del fronte d'onda della perturbazione ($v_2$) è sempre di segno negativo, essendo dato dalla somma cambiata di segno di due quantità sempre positive, e quindi discende sempre la corrente; la velocità dell'altro lato della perturbazione ($v_1$), invece, può essere di segno negativo o positivo a seconda che $U$ sia rispettivamente maggiore o minore di $\sqrt{g\cdot h_m}$.

Perciò, qualora il fronte d'onda di monte della perturbazione non riesca a risalire la corrente, cioè nel caso $U$ sia maggiore di $\sqrt{g\cdot h_m}$ e quindi maggiore di $v_1$, il numero di Froude è maggiore di 1, e si è in condizioni supercritiche; nel caso in cui il fronte d'onda di monte della perturbazione riesca a risalire la corrente, cioè nel caso $U$ sia inferiore di $\sqrt{g\cdot h_m}$ e quindi inferiore di $v_1$, il numero di Froude è minore di 1, e si dice che si è in condizioni subcritiche.

Ricapitolando si ha che:

• se $\mathrm{F}\mathrm{r}<1$ la corrente è subcritica (lenta);
• se $\mathrm{F}\mathrm{r}=1$ la corrente è nel suo punto critico;
• se $\mathrm{F}\mathrm{r}>1$ la corrente è supercritica (veloce).

A parità di condizioni al contorno, il tirante idrico $h_m$ in regime di moto subcritico risulta essere maggiore di quello in regime di moto supercritico.

Risalto idraulico

Risalto idraulico lungo un fiume

Per conoscere il tipo di risalto idraulico che si verifica si fa riferimento al valore del numero di Froude ${\mathrm{F}\mathrm{r}}_1$ nella sezione di monte al passaggio dalla corrente veloce alla corrente lenta; in particolare si hanno i seguenti intervalli di valori:

• se ${\mathrm{F}\mathrm{r}}_1\in [1,0;1,7]$ si ha un risalto ondulato, con onde stazionarie e l'altezza coniugata nel risalto di valle è di poco maggiore a quella di monte;
• se ${\mathrm{F}\mathrm{r}}_1\in [1,7;2,5]$ si ha un risalto debole, con piccole ondulazioni della superficie e l'altezza coniugata nel risalto di valle è due o tre volte quella di monte;
• se ${\mathrm{F}\mathrm{r}}_1\in [2,5;4,5]$ si ha un risalto oscillante, con pulsazioni intense che possono danneggiare i canali in terra;
• se ${\mathrm{F}\mathrm{r}}_1\in [4,5;9,0]$ si ha un risalto stazionario, con onde stabili e grandi dissipazioni di energia;
• se ${\mathrm{F}\mathrm{r}}_1>9,0$ si ha un risalto impetuoso, con onde violente e intermittenti e l'altezza coniugata nel risalto di valle è maggiore di dodici volte quella di monte.

Idrodinamica navale

Tipo di moto ondoso e velocità per valori differenti del numero di Froude.

Nelle applicazioni idrodinamiche marine, il numero di Froude viene solitamente indicato con la notazione $\mathrm{F}\mathrm{n}$ ed è definito come:

${\mathrm{F}\mathrm{n}}_L=\frac{u}{\sqrt{g\cdot L}}$

dove:

• $u$ è la velocità di flusso relativa tra mare e nave;
• $g$ è l'accelerazione di gravità;
• $L$ è la lunghezza della nave al livello della linea di galleggiamento, o $L_{w1}$ in alcune notazioni.

È un parametro importante rispetto alla resistenza al moto della nave, specialmente in termini di resistenza d'onda.

Nel caso di imbarcazioni plananti, dove la lunghezza della linea di galleggiamento è troppo dipendente dalla velocità per essere significativa, il numero di Froude è meglio definito come "numero di Froude volumetrico" e la lunghezza di riferimento è considerata come la radice cubica dello spostamento volumetrico dello scafo:

${\mathrm{F}\mathrm{n}}_V=\frac{u}{\sqrt{g\cdot \sqrt[3]{V}}}$

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita web
• Template:Cita web
• Template:Cita web
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Numero di Reynolds
• Numero di Reech
• Numero di Richardson
• Numero di Grashof
• Numero di Rayleigh