Numero quadrato triangolare

Un numero quadrato triangolare è un numero che è sia triangolare sia quadrato. Esistono infiniti numeri triangolari quadrati, dati dalla formula:

$N_k=\frac{1}{32}{({(1+\sqrt{2})}^{2k}-{(1-\sqrt{2})}^{2k})}^2.$

Il 36, ad esempio, può essere rappresentato sia come quadrato sia come triangolo:

Il problema della ricerca di numeri triangolari quadrati si riduce all'equazione di Pell. Infatti, si tratta di trovare due numeri q e t tali che il q-esimo numero quadrato sia uguale al t-esimo numero triangolare:

$t(t+1)/2=q^2$

Con qualche trasformazione diventa:

$t^2+t=2q^2$

$t^2+2t/2+1/4-1/4=2q^2$

$(t+1/2{)}^2=2q^2+1/4$

$(2t+1{)}^2=8q^2+1$

Sostituendo m = 2t + 1 e n = 2q, otteniamo la seguente equazione diofantea:

$m^2=2n^2+1$

che è un'equazione di Pell.

Il k-esimo numero triangolare quadrato N_k è uguale al q-esimo quadrato e al t-esimo triangolare tali che:

$q(N)=\sqrt{N},$

$t(N)=\lfloor \sqrt{2N}\rfloor .$

t è dato dalla formula:

$t(N_k)=\frac{1}{4}[{({(1+\sqrt{2})}^k+{(1-\sqrt{2})}^k)}^2-{(1+(-1{)}^k)}^2]$.

Al crescere di k, il rapporto t/q tende alla radice di due:

$\begin{array}{cccc}N=1& q=1& t=1& t/q=1\\ N=36& q=6& t=8& t/q=1.3333333\\ N=1225& q=35& t=49& t/q=1.4\\ N=41616& q=204& t=288& t/q=1.4117647\\ N=1.413.721& q=1189& t=1681& t/q=1.4137931\\ N=48.024.900& q=6930& t=9800& t/q=1.4141414\\ N=1.631.432.881& q=40391& t=57121& t/q=1.4142011\end{array}$

Collegamenti esterni

• Template:En Numeri triangolari che sono anche quadrati. Da Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
• Template:En Square triangular number, su MathWorld