Relazione (matematica)

Template:F In matematica una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due o più insiemi.

Definizione

Relazione tra due insiemi

Una relazione tra due insiemi $A$ e $B$ (o relazione binaria) è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano, $R\subset A\times B$.

Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni

$(a,b)\in R$

$R(a,b)$

$aRb$

e quando sono verificate si dice che $a$ è in relazione con $b$ (secondo la relazione $R$).

Relazioni tra n insiemi

Una relazione tra n insiemi $S_1,\dots ,S_n$ è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano $S_1\times \dots \times S_n$, ovvero un insieme di n-uple ordinate $(s_1,\dots ,s_n)$. È anche detta relazione n-aria (in casi specifici anche ternaria, quaternaria, eccetera). Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni

$(s_1,\dots ,s_n)\in R$

$R(s_1,\dots ,s_n).$

Con notazione diversa, una relazione su una famiglia di insiemi $ℱ=\{S_i{\}}_{i\in I}$ è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano $\prod _{i\in I}{S}_i$.

Formalmente è possibile definire una relazione su un solo insieme $A$ (anche detta una relazione unaria o proprietà):

$R=\{a\in A\mid R(a)\}.$

L'insieme $R$ è (banalmente) l'insieme degli elementi che godono della proprietà di appartenere ad $R$.

Proprietà

Si dice che una relazione binaria $R\subset A\times A$ è una relazione di equivalenza, o più semplicemente un'equivalenza, se è:

• Riflessiva: $\mathrm{\forall }a\in A,aRa.$
• Simmetrica: $\mathrm{\forall }a,b\in A,aRb\Rightarrow bRa.$
• Transitiva: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A,aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc.$

Si dice che $R$ è una relazione d'ordine, o più semplicemente un ordine, se è:

• Riflessiva: $\mathrm{\forall }a\in A,aRa.$
• Antisimmetrica: $\mathrm{\forall }a,b\in A,aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b.$
• Transitiva: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A,aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc.$

In più è totale se vale la linearità o totalità:

• Totalità: $\mathrm{\forall }a,b\in A,aRb\vee bRa$.

Esempi

• L'ordine stretto maggiore sui numeri reali mette in relazione coppie di numeri reali

$R=\{(a,b)\in ℝ\times ℝ\mid a>b\},$

ossia $a\in ℝ$ è in relazione maggiore con $b\in ℝ$ quando $a>b$ (cioè $aRb$).

• Sui numeri naturali, la differenza $a-b=c$ mette in relazione triple $(a,b,c)$ secondo

$R=\{(a,b,c)\in {\mathbb{N}}^3\mid a-b=c\}.$

• Ogni funzione $f:A\to B$ è una relazione

$R_f=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=b\}$

e può essere identificata con il suo grafico.

• Su numeri reali la positività ($x⩾0$) è una relazione:

$R=\{x\in ℝ\mid x⩾0\}.$

• Una relazione di equivalenza è una relazione.

Applicazioni

Informatica

Le "relazioni" che vengono utilizzate nelle basi di dati sono davvero delle relazioni:

• nel modello entità-relazioni le relazioni sono relazioni tra gli insiemi entità;
• nel modello relazionale le relazioni sono relazioni tra gli insiemi domini; la rappresentazione tabulare delle t-uple è la rappresentazione per elencazione delle n-uple (Template:Inglese).

Voci correlate

• Ennupla
• Prodotto cartesiano
• Proprietà (matematica)
• Relazione binaria
• Relazione d'ordine
• Relazione di equivalenza
• Funzione (matematica)
• Funzione polidroma
• Algebra relazionale
• Modello relazionale

Collegamenti esterni

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