Grande icosidodecaedro camuso invertito

Template:Poliedro In geometria, il grande icosidodecaedro camuso invertito è un poliedro stellato uniforme avente 92 facce - 80 triangolari e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande icosidodecaedro camuso invertito, spesso indicato con il simbolo U₆₉ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

$(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta )$

$(\pm (\alpha -\beta \phi -{\phi }^{-1}),\pm (\alpha {\phi }^{-1}+\beta -\phi ),\pm (-\alpha \phi -\beta {\phi }^{-1}-1))$

$(\pm (\alpha \phi -\beta {\phi }^{-1}+1),\pm (-\alpha -\beta \phi +{\phi }^{-1}),\pm (-\alpha {\phi }^{-1}+\beta +\phi ))$

$(\pm (\alpha \phi -\beta {\phi }^{-1}-1),\pm (\alpha +\beta \phi +{\phi }^{-1}),\pm (-\alpha {\phi }^{-1}+\beta -\phi ))$

$(\pm (\alpha -\beta \phi +{\phi }^{-1}),\pm (-\alpha {\phi }^{-1}-\beta -\phi ),\pm (-\alpha \phi -\beta {\phi }^{-1}+1))$

con un numero pari di segni più, dove $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ è la sezione aurea, $\xi \approx 1,2224727$ è la più grande radice reale positiva dell'equazione ${\xi }^3-2\xi =-\frac{1}{\phi }$ e

$$\begin{array}{cc}\alpha & =\xi -\frac{1}{\xi },\\ \beta & =-\frac{\xi }{\phi }+\frac{1}{{\phi }^2}-\frac{1}{\xi \phi }.\end{array}$$

Poliedri correlati

Dato un grande icosidodecaedro camuso invertito di spigolo pari a 1, il suo circumraggio è pari a $$R=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2-x}{1-x}}=0,816081\dots$$ dove $x$ è la soluzione dell'equazione

$$x^3+2x^2={\left(\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\right)}^2.$$

Le quattro radici positive dell'equazione in ${ℝ}^2$, $$4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^8-35776R^6+13872R^4-2696R^2+209=0$$ sono, in ordine, i circumraggi del grande icosidodecaedro retrocamuso (U₇₄), del grande icosidodecaedro camuso (U₅₇), del grande icosidodecaedro camuso invertito (U₆₉) e del dodecaedro camuso (U₂₉).

Grande esacontaedro pentagonale invertito

Template:Poliedro Il grande esacontaedro pentagonale invertito è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande icosidodecaedro camuso invertito, avente per facce 60 pentagoni irregolari concavi.

Dato un grande icosidodecaedro camuso invertito di spigolo pari a 1, immaginando il grande esacontaedro pentagonale invertito come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagono irregolare concavo, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero $\xi \approx 0,25278028927$ - la più piccola radice positiva del polinomio $P=8x^3-8x^2+{\varphi }^{-2}$ - ogni faccia risulta avere quattro angoli uguali di ampiezza pari a $\arccos (\xi )\approx 75,35790341742^{\circ }$ e un angolo di ampiezza pari a $360^{\circ }-\arccos (-{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-2}\xi )\approx 238,56838633033^{\circ }$, con tre lati lunghi e due corti le cui lunghezze stanno in un rapporto pari a $\frac{2-4{\xi }^2}{1-2\xi }\approx 3,52805303481$

Collegamenti esterni

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