Grande icosidodecaedro retrocamuso

Template:Poliedro In geometria, il grande icosidodecaedro retrocamuso è un poliedro stellato uniforme avente 92 facce - 80 triangolari e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande icosidodecaedro retrocamuso, spesso indicato con il simbolo U₇₄ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

$(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta )$

$(\pm (\alpha -\beta \phi -{\phi }^{-1}),\pm (\alpha {\phi }^{-1}+\beta -\phi ),\pm (-\alpha \phi -\beta {\phi }^{-1}-1))$

$(\pm (\alpha \phi -\beta {\phi }^{-1}+1),\pm (-\alpha -\beta \phi +{\phi }^{-1}),\pm (-\alpha {\phi }^{-1}+\beta +\phi ))$

$(\pm (\alpha \phi -\beta {\phi }^{-1}-1),\pm (\alpha +\beta \phi +{\phi }^{-1}),\pm (-\alpha {\phi }^{-1}+\beta -\phi ))$

$(\pm (\alpha -\beta \phi +{\phi }^{-1}),\pm (-\alpha {\phi }^{-1}-\beta -\phi ),\pm (-\alpha \phi -\beta {\phi }^{-1}+1))$

con un numero pari di segni più, dove $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ è la sezione aurea, $\xi \approx 0,3264046$ è la più piccola radice positiva dell'equazione $$\begin{array}{cc}{\xi }^3-2\xi =-\frac{1}{\phi }⟹\xi & =\frac{(1+i\sqrt{3})\sqrt[3]{\frac{1}{2\phi }+\sqrt{\frac{1}{4{\phi }^2}-\frac{8}{27}}}+(1-i\sqrt{3})\sqrt[3]{\frac{1}{2\phi }-\sqrt{\frac{1}{4{\phi }^2}-\frac{8}{27}}}}{2}\\ \end{array}$$

e

$$\begin{array}{cc}\alpha & =\xi -\frac{1}{\xi },\\ \beta & =-\frac{\xi }{\phi }+\frac{1}{{\phi }^2}-\frac{1}{\xi \phi }.\end{array}$$

Poliedri correlati

Dato un grande icosidodecaedro retrocamuso di spigolo pari a 1, il suo circumraggio è pari a $$R=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2-x}{1-x}}=0,580002\dots$$ dove $x$ è la radice dell'equazione

$x^3+2x^2=(\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}{)}^2.$

Le quattro radici positive dell'equazione in ${ℝ}^2$, $$4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^8-35776R^6+13872R^4-2696R^2+209=0$$ sono, in ordine, i circumraggi del grande icosidodecaedro retrocamuso (U₇₄), del grande icosidodecaedro camuso (U₅₇), del grande icosidodecaedro camuso invertito (U₆₉) e del dodecaedro camuso (U₂₉).

Grande esacontaedro pentagrammico

Template:Poliedro Il grande esacontaedro pentagrammico è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande icosidodecaedro retrocamuso, avente per facce 60 pentagrammi irregolari.

Dato un grande icosidodecaedro retrocamuso di spigolo pari a 1, immaginando il grande esacontaedro pentagrammico come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagramma irregolare, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero $\xi \approx 0,94673003356$ - maggior radice positiva del polinomio $P=8x^3-8x^2+{\varphi }^{-2}$ - ogni faccia risulta avere quattro angoli uguali di ampiezza pari a $\arccos (\xi )\approx 18,78563395824^{\circ }$ e uno angolo di ampiezza pari a $\arccos (-{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-2}\xi )\approx 104,85746416703^{\circ }$, con tre lati lunghi e due corti le cui lunghezze stanno in un rapporto pari a $\frac{2-4{\xi }^2}{1-2\xi }\approx 1,77421586494$

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:Mathworld