Test dei run

In statistica il test dei run, o test delle sequenze, o test di Wald-Wolfowitz (da Abraham Wald e Jacob Wolfowitz) è un test di verifica d'ipotesi, non parametrico, condotto sull'indipendenza dei dati in una sequenza binaria.

Il test ammette che la sequenza venga da un processo di Bernoulli e ne accetta le frequenze osservate, per controllare la casualità della distribuzione dei dati. Per fare questo considera il numero di catene alternate di simboli uguali, o run.

I run

Ad esempio, la sequenza "1111000111001111110000" possiede 6 run: "1111 000 111 00 111111 0000". I simboli comunemente usati sono "+" e "-", perché il test viene solitamente condotto per controllare la distribuzione dei valori superiori o inferiori alla mediana o ad una funzione di interpolazione.

Una sequenza in cui i run siano pochi (come "111111000000") o troppi (come "101010101010") rispetto alla frequenza dei simboli probabilmente non è il risultato di una fluttuazione dei dati e può indicare un errore sistematico.

Test

Il test dei run suppone che il numero di run di una sequenza lunga $N$, di $N^{+}$ simboli "+" e $N^{-}$ simboli "-" (quindi con $N=N^{+}+N^{-}$ si comporti come una variabile aleatoria di legge normale $𝒩(\mu ,\sigma )$ con

valore atteso $\mu =1+2\frac{N^{+}{N}^{-}}{N}$

e varianza ${\sigma }^2=\frac{(\mu -1)(\mu -2)}{N-1}$.

Solitamente si chiede che entrambi $N^{+}$ e $N^{-}$ siano superiori a 20.

Test d'ipotesi alternativi sono il test di Kolmogorov-Smirnov e il test χ², che è "complementare" al test dei run (nel senso che considera i valori assoluti degli scostamenti dalla media, non i loro segni).

Probabilità

La situazione del test è modellizzata da un processo di Bernoulli di parametro p, ovvero in una successione di variabili aleatorie indipendenti X₁, ..., X_n con probabilità $P(X_i=1)=p$ di verificare una proprietà (simbolo "+") e $P(X_i=0)=q=1-p$ di non verificarla (simbolo "-"). Il numero di simboli dopo n prove è dato dalle variabili aleatorie $S_n=X_1+\dots +X_n$ e $n-S_n$, con valore atteso rispettivamente n⁺=np e n^-=nq.

Il numero di run può essere definito come

$R_n=1+I_1+\dots +I_{n-1}$,

dove le variabili aleatorie $I_i=|X_i-X_{i+1}|$ contano i nuovi run.

La speranza e la varianza di $R_n$ sono

$E[R_n]=1+2(n-1)pq$;

$\text{Var}(R_n)=(4n-6)pq-(12n-20)p^2{q}^2$.

Lo stimatore del valore atteso di $R_n$, $1+2\frac{S_n(n-S_n)}{n}=1+2n\frac{S_n}{n}(1-\frac{S_n}{n})$, è privo di bias:

$E[1+2\frac{S_n(n-S_n)}{n}]-E[R_n]=0$.

Esempio

Ad esempio, per una sequenza con N=16, N⁺=10 e N^-=6 (normalmente il test viene condotto su sequenze più lunghe), secondo il test dei run se i caratteri fossero indipendenti il numero di run dovrebbe seguire la legge normale $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ con

speranza $\mu =1+2\frac{N^{+}{N}^{-}}{N}=1+2\frac{6\cdot 10}{16}=\frac{17}{2}=8,5$ ;

varianza ${\sigma }^2=\frac{(\mu -1)(\mu -2)}{N-1}=\frac{\frac{15}{2}\frac{13}{2}}{15}=\frac{13}{4}=3,25$ ;

scarto tipo $\sigma =\sqrt{3,25}=1,802...$.

In particolare, gli stessi dati sono presenti con diverse distribuzioni in queste sequenze:

• "1111111111000000" ha 2 run, pari a circa $\mu -3,6\sigma$,
• "1010110110101101" ha 13 run, pari a circa $\mu +2,5\sigma$,
• "1100110111001101" ha 9 run, pari a circa $\mu +0,3\sigma$;

i loro valori p (ovvero le probabilità di discostarsi così tanto dalla media) sono all'incirca 0,0005 per la prima, 0,01 per a seconda e 0,76 per la terza.

Voci correlate

• Abraham Wald
• Processo di Bernoulli
• Test di verifica d'ipotesi
• Test di Kolmogorov-Smirnov
• Test chi quadrato
• Variabile aleatoria
• Variabili indipendenti