Crivello di Eratostene

Template:F Il crivello di Eratostene è un antico algoritmo per il calcolo dei numeri primi fino a un certo numero prefissato. Deve il proprio nome al matematico Eratostene di Cirene, che ne fu l'ideatore. È ancora utilizzato per il calcolo dei numeri primi da molti programmi per computer, per via della sua semplicità. Pur non essendo particolarmente efficiente, infatti, è piuttosto semplice da implementare in un qualsiasi linguaggio di programmazione.

Algoritmo

Animazione del crivello

Il procedimento è il seguente: si scrivono tutti i numeri naturali a partire da $2$ fino $n$ in un elenco, detto setaccio. In seguito si cancellano (setacciano) tutti i multipli del primo numero del setaccio escluso lui stesso. Si prende poi il primo numero non cancellato maggiore di $2$ e si cancellano tutti i suoi multipli eccetto lui, e si ripete questa operazione fino a che il primo numero non cancellato maggiore di $2$ non presenta multipli nell'elenco. I numeri che restano sono i numeri primi minori o uguali a $n$.

È come se si utilizzassero dei setacci a maglie via via più larghe: il primo lascia passare solo i numeri non multipli di $2$, il secondo solo i non multipli di $3$, e così via.

Nel caso $n=50$, ad esempio, il procedimento di setacciatura si conclude con il numero $7$ perché $7$ è il massimo primo il cui quadrato non supera $50$; si può provare che il procedimento di setacciatura per ricercare i primi fino a un certo numero $n$ cessa sempre quando si supera la radice quadrata di $n$. Ogni numero $a$ del setaccio iniziale, contenente tutti i numeri naturali non superiori a un dato $n$, cade dal setaccio che corrisponde al più piccolo dei suoi divisori primi.

Se indichiamo con $p$ il più piccolo divisore primo di $a$ si ha:

$a=p\cdot r\text{ con }r\ge p.$

Se ne deduce che $a=p\cdot r\ge p\cdot p=p^2$, da cui $p$ è sempre minore o uguale alla radice quadrata di $a$.

Una implementazione dell'algoritmo di Eratostene in Haskell che calcola l'n-esimo numero primo:

-- Una lista infinita di numeri primi prodotta
-- attraverso il metodo del crivello di Eratostene.
crivello :: [Int]
crivello = crivello' [2..]
  where
    crivello' :: [Int] -> [Int]
    crivello' (p:ps) = p : crivello' [i | i <- ps, mod i p /= 0]
    crivello' _ = undefined

-- Estrai il n-esimo numero primo.
eratostene :: Int -> Int
eratostene n = crivello !! n

Esempio

Per trovare tutti i numeri primi minori di $30$, si può procedere come segue:

• Scrivere la lista di tutti i numeri interi da $2$ a $30$:

  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

• Cancellare dalla lista i multipli di $2$:

  2  3     5     7     9    11    13    15    17    19    21    23    25    27    29

• Il primo numero della lista dopo il $2$ è il $3$; cancellare dalla lista i multipli di $3$:

  2  3     5     7          11    13          17    19          23    25          29

• Il primo numero della lista dopo il $3$ è il $5$; cancellare dalla lista i rimanenti multipli di $5$:

  2  3     5     7          11    13          17    19          23                29

• Il primo numero della lista dopo il $5$ è il $7$: non essendoci più suoi multipli, i numeri restanti sono i numeri primi cercati.