Fibrato vettoriale essenzialmente finito

In matematica, un fibrato vettoriale essenzialmente finito è un particolare tipo di fibrato vettoriale definito da Madhav Nori, come lo strumento principale nella costruzione dello schema in gruppi fondamentale. Anche se la definizione non è intuitiva, esiste una bella caratterizzazione che rende i fibrati vettoriali essenzialmente finiti oggetti del tutto naturali da studiare in geometria algebrica. La seguente nozione di fibrato vettoriale finito è dovuta ad André Weil ed è necessaria per definire i fibrati vettoriali essenzialmente finiti.

Fibrati vettoriali finiti

Sia $X$ uno schema e $V$ un fibrato vettoriale su $X$. Dato un polinomio $f=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}[x]$ con coefficienti non negativi si definisce

$f(V):={𝒪}_X^{\oplus a_0}\oplus V^{\oplus a_1}\oplus {\left(V^{\otimes 2}\right)}^{\oplus a_2}\oplus \dots \oplus {\left(V^{\otimes n}\right)}^{\oplus a_n}.$

Quindi $V$ si dice finito se esistono due polinomi distinti $f,g\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}[x]$ per cui $f(V)$ è isomorfo a $g(V)$.

Definizione

Le due definizioni seguenti coincidono quando $X$ è uno schema ridotto, connesso e proprio su un campo perfetto.

La definizione secondo Borne e Vistoli

Un fibrato vettoriale si dice essenzialmente finito se è il nucleo di un morfismo $u:F_1\to F_2$ dove $F_1,F_2$ sono fibrati vettoriali finiti secondo la definizione precedente.

La definizione originale di Nori

Un fibrato vettoriale è essenzialmente finito se è un sottoquoziente di un fibrato vettoriale finito nella categoria dei fibrati vettoriali Nori-semistabili.

Proprietà

• Sia $X$ uno schema ridotto e connesso su un campo perfetto $k$ dotato di una sezione $x\in X(k)$. Un fibrato vettoriale $V$ su $X$ è essenzialmente finito se e solo se esiste uno schema in gruppi finito $G$ su $k$ e un $G$-torsore $p:P\to X$ che banalizza $V$ (cioè $p^{*}(V)\cong O_P^{\oplus r}$, dove $r=\mathrm{r}\mathrm{k}(V)$).
• Quando $X$ è uno schema ridotto, connesso e proprio su un campo perfetto con un punto $x\in X(k)$ allora la categoria $EF(X)$ dei fibrati vettoriali essenzialmente finiti dotati del consueto prodotto tensoriale ${\otimes }_{{𝒪}_X}$, l'oggetto banale ${𝒪}_X$ e il funtore fibra $x^{*}$ forma una categoria tannakiana.
• Lo schema in gruppi affine ${\pi }_1(X,x)$ su $k$ naturalmente associato alla categoria tannakiana $EF(X)$ è chiamato schema in gruppi fondamentale.