Teoria di Newton-Cartan

La teoria di Newton-Cartan (o gravitazione newtoniana geometrizzata) è una riformulazione geometrica della gravità newtoniana introdotta per la prima volta da Élie Cartan e Kurt Friedrichs e successivamente sviluppata da Dautcourt, Dixon, Dombrowski e Horneffer, Ehlers, Havas, Künzle, Lottermoser, Trautman, e altri. In questa riformulazione, le somiglianze strutturali tra la teoria di Newton e la teoria della relatività generale di Albert Einstein sono facilmente visibili, ed è stata usata da Cartan e Friedrichs per dare una formulazione rigorosa del modo in cui la gravità newtoniana può essere vista come un limite specifico della relatività generale, e da Jürgen Ehlers di estendere questa corrispondenza a soluzioni specifiche della relatività generale.

Spaziotempo classico

Nella teoria di Newton-Cartan, si inizia con una varietà quadridimensionale liscia $M$ e definisce due metriche (degeneri). Una metrica temporale $t_{ab}$ con segnatura $(1,0,0,0)$, utilizzato per assegnare lunghezze temporali ai vettori su $M$ e una metrica spaziale $h^{ab}$ con segnatura $(0,1,1,1)$ . Si richiede anche che queste due metriche soddisfino una condizione di trasversalità (o "ortogonalità"), $h^{ab}{t}_{bc}=0$ . Pertanto, si definisce uno spaziotempo classico come un quadrupla ordinata $(M,t_{ab},h^{ab},\mathrm{\nabla })$, dove $t_{ab}$ e $h^{ab}$ sono come descritti, $\mathrm{\nabla }$ è un operatore di derivata covariante compatibile con le metriche; e le metriche soddisfano la condizione di ortogonalità. Si potrebbe dire che uno spaziotempo classico è l'analogo di uno spaziotempo relativistico $(M,g_{ab})$, dove $g_{ab}$ è una metrica lorentziana liscia sulla varietà $M$ .

Formulazione geometrica dell'equazione di Poisson

Nella teoria della gravità di Newton, l'equazione di Poisson si scrive come

$\mathrm{\Delta }U=4\pi G\rho$

dove $U$ è il potenziale gravitazionale, $G$ è la costante gravitazionale e $\rho$ è la densità di massa. Il principio di equivalenza debole motiva una versione geometrica dell'equazione del moto per una particella puntiforme nel potenziale $U$

$m_t\ddot{\overrightarrow{x}}=-m_g\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}U$

dove $m_t$ è la massa inerziale e $m_g$ la massa gravitazionale. Poiché, secondo il principio di equivalenza debole $m_t=m_g$, la corrispondente equazione del moto

$\ddot{\overrightarrow{x}}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}U$

non contiene più un riferimento alla massa della particella. Seguendo l'idea che la soluzione dell'equazione è quindi una proprietà della curvatura dello spazio, si costruisce una connessione in modo che l'equazione geodetica

$\frac{d^2{x}^{\lambda }}{d{s}^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }\frac{d{x}^{\mu }}{ds}\frac{d{x}^{\nu }}{ds}=0$

rappresenta l'equazione del moto di una particella puntiforme nel potenziale $U$ . La connessione che ne risulta è

${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }={\gamma }^{\lambda \rho }{U}_{,\rho }{\mathrm{\Psi }}_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_{\nu }$

insieme a ${\mathrm{\Psi }}_{\mu }={\delta }_{\mu }^0$ e ${\gamma }^{\mu \nu }={\delta }_A^{\mu }{\delta }_B^{\nu }{\delta }^{AB}$ ( $A,B=1,2,3$ ). La connessione è stata costruita in un sistema inerziale ma può essere dimostrata valida in qualsiasi sistema inerziale mostrando l'invarianza di ${\mathrm{\Psi }}_{\mu }$ e ${\gamma }^{\mu \nu }$ sotto trasformazioni di Galileo. Il tensore di curvatura di Riemann nelle coordinate del sistema inerziale di questa connessione è quindi dato da

$R_{\kappa \mu \nu }^{\lambda }=2{\gamma }^{\lambda \sigma }{U}_{,\sigma [\mu }{\mathrm{\Psi }}_{\nu ]}{\mathrm{\Psi }}_{\kappa }$

dove le parentesi $A_{[\mu \nu ]}=\frac{1}{2!}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]$ stanno a significare la combinazione antisimmetrica del tensore $A_{\mu \nu }$. Il tensore di Ricci è dato da

$R_{\kappa \nu }=\mathrm{\Delta }U{\mathrm{\Psi }}_{\kappa }{\mathrm{\Psi }}_{\nu }$

che porta alla seguente formulazione geometrica dell'equazione di Poisson

$R_{\mu \nu }=4\pi G\rho {\mathrm{\Psi }}_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_{\nu }$

Più esplicitamente, se gli indici i e j spaziano sulle coordinate spaziali 1, 2, 3, allora la connessione è data da

${\mathrm{\Gamma }}_{00}^i=U_{,i}$

il tensore di curvatura di Riemann è dato da

$R_{0j0}^i=-R_{00j}^i=U_{,ij}$

e il tensore di Ricci e lo scalare di Ricci è dato da

$R=R_{00}=\mathrm{\Delta }U$

dove tutti i componenti non elencati sono uguali a zero.

Si noti che questa formulazione non richiede l'introduzione del concetto di metrica: la sola connessione fornisce tutte le informazioni fisiche.

Bibliografia

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