Omotetia nel piano complesso

Template:F Si presenta la generica omotetia nel piano complesso di centro $C_0(x_0,y_0)$ e rapporto $a$, con $a$ numero reale diverso da zero e $C_0$ punto del piano complesso (si veda numeri complessi e punti del piano cartesiano).

Definizione

Sia $C_0=P(z_0)$ il punto corrispondente al numero complesso $z_0=x_0+i{y}_0$, e sia $a$ un numero reale diverso da $0$ e da $1$. L'omotetia ${\omega }_{C_0,a}$ di centro $C_0$ e rapporto $a$, è la trasformazione che associa ad ogni punto $P=P(z)$, corrispondente del numero complesso $z$, il punto $P^{\prime }=P^{\prime }(z^{\prime })$, corrispondente del numero complesso $z^{\prime }$, tale che:

$\overrightarrow{C_0{P}^{\prime }}=a\overrightarrow{C_{0}P}.$

Dal momento che

$\overrightarrow{C_{0}P}=z-z_0,\overrightarrow{C_0{P}^{\prime }}=z^{\prime }-z_0,$

si ha che

$z^{\prime }-z_0=a(z-z_0).$

Quindi, introducendo $b:=(1-a)z_0$, la scrittura complessa dell'omotetia è:

$\begin{array}{cc}{\omega }_{C_0,a}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=az+b=a\rho e^{i\theta }+b.\end{array}$

In modo particolare l'omotetia ${\omega }_{O,a}$ di centro l'origine degli assi $O$ e rapporto $a$, è la trasformazione

$\begin{array}{cc}{\omega }_{O,a}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=az=a\rho e^{i\theta }=a\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),\end{array}$

ove si è posto

$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ).$

Osserviamo inoltre come opera la trasformazione in base al segno del numero $a$:

Quindi:

moltiplicare il numero complesso $z$ per un numero reale $a$ non nullo e diverso da $1$ equivale ad applicare al punto $P(z)$ l'omotetia di rapporto $a$.

Esempio

Si determina la scrittura complessa dell'omotetia di centro $C_0(-2,4)$ e rapporto $3$.

Il numero complesso corrispondente a questo punto è $z_0=-2+4i$.

Quindi, ricordando che l'omotetia si ottiene con $z^{\prime }-z_0=a(z-z_0)$, si ha che

$z^{\prime }-(-2+4i)=3(z-(-2+4i))$ cioè $z^{\prime }=3z+4-8i$.

Voci correlate

• Omotetia
• Trasformazione geometrica piana