Cubottaedro troncato (gruppo)

Template:O Il gruppo cubottaedro troncato è un gruppo infinito, ed è un gruppo di Garside e di Artin-Tits. Non ha a che fare con il gruppo delle simmetrie del solido cubottaedro troncato.

Definizione

Definiamo^[1] il gruppo cubottaedro troncato su tre generatori $T_{3}$ come il generato da $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ soggetti alle relazioni

$a_{1} a_{2} a_{1} a_{2} = a_{2} a_{1} a_{2} a_{1}$
$a_{2} a_{3} a_{2} = a_{3} a_{2} a_{3}$
$a_{1} a_{3} = a_{3} a_{1}$

Notiamo che queste relazioni definiscono un gruppo infinito, e inoltre preservano la lunghezza delle parole.

Proprietà

Il gruppo $T_{3}$ è un gruppo di Artin^[2] (o di Artin-Tits), cioè è descritto da relazioni tutte della forma $a_{i} a_{j} a_{i} a_{j} \dots = a_{j} a_{i} a_{j} a_{i} \dots$ dove i due membri hanno stessa lunghezza.

È inoltre un gruppo di Garside^[3], con elemento di Garside $Δ = (a_{1} a_{2} a_{3})^{3}$ .

Bibliografia

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