Semianello

Template:F Un semianello è una struttura algebrica formata da un insieme $A$ munito di due operazioni binarie, dette somma e prodotto e denotate rispettivamente con $+$ Template:TA le quali verifichino le seguenti proprietà:

Somma e prodotto sono operazioni associative: si ha cioè $(a + b) + c = a + (b + c)$ e $(a b) c = a (b c)$ per ogni terna $(a, b, c)$ di elementi di $A$ ;
Esiste un (unico) elemento neutro per la somma, indicato con $0$ . Ciò significa che comunque si scelga $a$ in $A$ , vale $a + 0 = 0 + a = a$ ;
Il prodotto è distributivo rispetto alla somma, vale a dire $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ e $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ per ogni scelta di $a$ , $b$ e $c$ in $A$ .
Per ogni $a$ in $A$ , $0 \cdot a = a \cdot 0 = 0$ .

Si noti che la prima proprietà dice esattamente che $⟨ A, + ⟩$ e $⟨ A, \cdot ⟩$ sono semigruppi, mentre la seconda proprietà specifica più completamente che $⟨ A, + ⟩$ è anche un monoide.

Esempi di semianelli

Tutti gli pseudoanelli.
Tutti gli anelli.
L'insieme $P (S)$ delle parti di un insieme $S$ , munito delle operazioni di unione (somma) e intersezione (prodotto). Lo 0 è in questo caso l'insieme vuoto.
L'insieme dei linguaggi sopra un alfabeto munito delle operazioni di unione e giustapposizione di linguaggi.
L'insieme delle relazioni binarie entro un dato insieme munito delle operazioni di unione e di prodotto di composizione di relazioni.