Teorema della scatola di flusso

In matematica e in particolare in analisi matematica, il teorema della scatola di flusso è un risultato fondamentale nella teoria dei campi vettoriali ed è di particolare interesse nella teoria dei sistemi dinamici. Tale teorema asserisce che preso un campo vettoriale differenziabile e un qualsiasi punto non singolare del campo, in un intorno sufficientemente piccolo del punto il campo è diffeomorfo a un campo costante.

Teorema

Premesse

Sia $𝒟$ un dominio aperto di ${ℝ}^n$ e, detto $k\ge 1$ un intero, sia $v\in C^k(𝒟,{ℝ}^n)$ un campo vettoriale di classe $C^k$ da $𝒟$ a ${ℝ}^n.$

Un punto $x\in 𝒟$ è singolare per il campo $v$ se $v(x)=0.$

Se $\varphi :U\subset 𝒟\to {ℝ}^n$ è un $C^{k+1}$-diffeomorfismo, allora il risultato dell'azione di $\varphi$ su $v,$ detto push-forward di $v$ tramite $\varphi ,$ è un campo vettoriale ${\varphi }_{*}v:\varphi (U)\to {ℝ}^n$ di classe $C^k$ così definito ${\varphi }_{*}v(y)=d{\varphi }_{{\varphi }^{-1}(y)}v({\varphi }^{-1}(y))$, dove $d\varphi$ è il differenziale di $\varphi .$ In questo contesto si dice che il campo $v$ è diffeomorfo al campo ${\varphi }_{*}v$ tramite $\varphi .$

Enunciato

Sia $v\in C^k(𝒟,{ℝ}^n)$ con $𝒟$ un dominio aperto di ${ℝ}^n$ e $k\ge 1$ un intero, e sia $\overline{x}\in 𝒟$ un punto non singolare per $v$. Allora esiste un intorno $U\subset 𝒟$ di $\overline{x}$ e un diffeomorfismo $\varphi :U\to \varphi (U)$ tale che il campo $v$ è diffeomorfo tramite $\varphi$ al campo costantemente uguale a $e_1=(1,0,\dots ,0).$

Dimostrazione

Sia $H$ un iperpiano (cioè $\dim H=n-1$) passante per $\overline{x}$ e trasversale a $v(\overline{x}).$ A meno di una trasformazione lineare affine si può supporre che $\overline{x}=0,$ che $v(0)=\Vert v(0)\Vert e_1$ e che $H=\{x\in {ℝ}^n:x\cdot e_1=0\}.$

Per il teorema di Cauchy esiste un intorno $V$ di $\overline{x}=0$, un intorno $I$ di zero e una funzione ${\psi }^t:I\times V\to 𝒟$ di classe $C^{k+1}$, unica soluzione in $I\times V$ dell'equazione

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=v(x)\\ x(0)=z,\end{array}$

dove $z$ è un qualsiasi punto di $V$ e ${\psi }^t(z)$ è l'evoluzione al tempo $t$ della soluzione con punto iniziale $z$. Allora, identificando $H$ con ${ℝ}^{n-1}$ si pone $S:=V\cap H$ ed è ben definita la funzione $\varphi :I\times S\to 𝒟,$ $\varphi (y)={\psi }^t(\xi )$, avendo usato la notazione $y=(t,\xi )$, con $t\in I$ e $\xi =({\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)\in S\subset {ℝ}^{n-1}.$

La matrice jacobiana di $\varphi$ in 0 è uguale a

$J\varphi (0)=\left(\begin{array}{cc}\Vert v(0)\Vert & \mathbf{\text{<mn fromhbox="1">0</mn>}}\\ \mathbf{\text{<mn fromhbox="1">0</mn>}}& I_{n-1}\end{array}\right),$

dove $I_{n-1}$ è la matrice identità e $\mathbf{\text{<mn fromhbox="1">0</mn>}}$ è la matrice nulla. Quindi, per il teorema della funzione inversa, esiste un intorno dell'origine, $W\subset I\times S$, tale che $\varphi :W\to \varphi (W)\subset 𝒟$ è un $C^k$-diffeomorfismo. Infine, per ogni $x\in \varphi (W)$, detto $y={\varphi }^{-1}(x),$ si ha

${\varphi }_{*}{e}_1(x)=d{\varphi }_y(e_1)=\frac{\partial \varphi }{\partial y_1}(y)=\frac{\partial {\psi }^t}{\partial t}(\xi )=v({\psi }^t(\xi ))=v(\varphi (y))=v(x).$

Prendendo la prima e l'ultima espressione di questa catena di uguaglianze e applicando $({\varphi }_{*}{)}^{-1}$ a entrambe si ottiene $({\varphi }_{*}{)}^{-1}v(x)=e_1$. Ricordando che il push-forward commuta con l'inversione, $({\varphi }_{*}{)}^{-1}=({\varphi }^{-1}{)}_{*},$ si ha che $U=\varphi (W)$ e quindi il diffeomorfismo cercato è ${\varphi }^{-1}.$

Corollario

Sia $v\in C^k(𝒟,{ℝ}^n),$ con $𝒟$ un dominio aperto di ${ℝ}^n$ e $k\ge 1$ un intero, e sia $\overline{x}\in 𝒟$ un punto non singolare per $v$. Allora esiste un intorno $U\subset 𝒟$ di $\overline{x}$ e un diffomorfismo $\varphi :U\to \varphi (U)$ che trasforma le soluzioni di $x^{\prime }=v(x)$ in $U$ nelle soluzioni di $x^{\prime }=e_1$ in un opportuno intorno dell'origine. Le soluzioni della seconda equazione sono rette parallele a $e_1.$

Bibliografia

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