Involuta

In matematica, date due curve $γ$ e $δ$ , si dice che $δ$ è involuta (o evolvente) di $γ$ , o che $γ$ è evoluta di $δ$ , se $δ$ appartiene allo spazio generato dal vettore tangente di $γ$ per ogni punto del dominio e se gli spazi 1-dimensionali generati dai vettori tangenti di $γ$ e $δ$ siano ortogonali in tutto il loro dominio. Per esempio la curva dei centri dei cerchi osculatori di $γ$ è un’evoluta di $γ$ .

Geometricamente, un'involuta, è un particolare tipo di curva che dipende da un'altra forma o curva. L'involuta di una curva è il luogo dei punti toccati dall'estremo di un pezzo di corda tesa mentre viene avvolta (o srotolata, in modo geometricamente equivalente) attorno alla curva data.^[1]

Le involute appartengono alla famiglia di curve chiamate roulette.

L'evoluta di un'involuta è quindi la curva originaria.

Le nozioni di involuta e di evoluta di una curva furono introdotte da Christiaan Huygens nel suo lavoro intitolato Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato dimostrationes geometricae (1673).^[2]

Involuta di una curva parametrizzata

Sia $\vec{c} (t), t \in [t_{1}, t_{2}]$ una curva regolare sul piano con curvatura mai nulla e $a \in (t_{1}, t_{2})$ , allora la curva con la rappresentazione parametrica

{\vec{C}}_{a} (t) = \vec{c} (t) - \frac{{\vec{c}}^{'} (t)}{| {\vec{c}}^{'} (t) |} \int_{a}^{t} | {\vec{c}}^{'} (w) | d w

è un'involuta della curva data.

Dimostrazione

Aggiungendo di un numero arbitrario ma fisso $l_{0}$ all'integrale $\int_{a}^{t} | {\vec{c}}^{'} (w) | d w,$ risulta in un'involuta corrispondente a una corda estesa di $l_{0}$ (come una palla di filo si lana, avente una certa lunghezza di filo già appeso prima che sia svolto). Quindi, l'involuta può variare di una costante $a$ e/o aggiungendo un numero all'integrale (vedi involuta di una parabola semicubica).

Se $\vec{c} (t) = (x (t), y (t))^{T}$ si ottiene

\begin{matrix} X (t) & = x (t) - \frac{x^{'} (t)}{\sqrt{x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2}}} \int_{a}^{t} \sqrt{x^{'} (w)^{2} + y^{'} (w)^{2}} d w \\ Y (t) & = y (t) - \frac{y^{'} (t)}{\sqrt{x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2}}} \int_{a}^{t} \sqrt{x^{'} (w)^{2} + y^{'} (w)^{2}} d w . \end{matrix}

Proprietà delle involute

Per ricavare le proprietà di una curva regolare è vantaggioso utilizzare la lunghezza dell'arco $s$ come il parametro della curva assegnata, che porta alle seguenti semplificazioni: $| {\vec{c}}^{'} (s) | = 1$ e ${\vec{c}}^{″} (s) = κ (s) \vec{n} (s)$ , con $κ$ la curvatura e $\vec{n}$ l'unità normale. Si ottiene per l'involuta:

{\vec{C}}_{a} (s) = \vec{c} (s) - {\vec{c}}^{'} (s) (s - a)

e

{\vec{C}}_{a}^{'} (s) = - {\vec{c}}^{″} (s) (s - a) = - κ (s) \vec{n} (s) (s - a)

oltre al seguente risultato:

nel punto ${\vec{C}}_{a} (a)$ l'involuta non è regolare (perché $| {\vec{C}}_{a}^{'} (a) | = 0$ ).

Da ${\vec{C}}_{a}^{'} (s) \cdot {\vec{c}}^{'} (s) = 0$ segue che:

La normale dell'involuta al punto ${\vec{C}}_{a} (s)$ è la tangente della curva data nel punto $\vec{c} (s)$ .
Le involute sono curve parallele, poiché ${\vec{C}}_{a} (s) = {\vec{C}}_{0} (s) + a {\vec{c}}^{'} (s)$ e poiché ${\vec{c}}^{'} (s)$ è il vettore unitario normale a ${\vec{C}}_{0} (s)$ .

Esempi

Involuta di una circonferenza

Per una circonferenza con rappresentazione parametrica $(r \cos (t), r \sin (t))$ , si ha ${\vec{c}}^{'} (t) = (- r \sin t, r \cos t)$ . Quindi $| {\vec{c}}^{'} (t) | = r$ e la lunghezza del percorso è $r (t - a)$ .

Calcolando l'equazione sopra indicata dell'involuta, si ottiene

\begin{matrix} X (t) & = r (\cos t + (t - a) \sin t) \\ Y (t) & = r (\sin t - (t - a) \cos t) \end{matrix}

per l'equazione parametrica dell'involuta della circonferenza.

La lunghezza dell'arco per $a = 0$ e $0 \leq t \leq t_{2}$ dell'involuta è

L = \frac{r}{2} t_{2}^{2} .

Involute di una parabola semicubica

L'equazione parametrica $\vec{c} (t) = (\frac{t^{3}}{3}, \frac{t^{2}}{2})$ , l'equazione dell'involuta è quindi

\begin{matrix} X (t) & = - \frac{t}{3} \\ Y (t) & = \frac{t^{2}}{6} - \frac{1}{3} . \end{matrix}

Eliminando $t$ si ottiene $Y = \frac{3}{2} X^{2} - \frac{1}{3},$ dimostrando che questa involuta è una parabola.

Le altre involute sono quindi curve parallele di una parabola e non sono parabole, poiché sono curve di grado sei.

L'involuta (rossa) di una catenaria (blu) è una trattrice.

Involute di una catenaria

Per la catenaria $(t, \cosh t)$ , il vettore tangente è ${\vec{c}}^{'} (t) = (1, \sinh t)$ , e come $1 + \sinh^{2} t = \cosh^{2} t,$ la sua lunghezza è $| {\vec{c}}^{'} (t) | = \cosh t$ . Quindi la lunghezza dell'arco dal punto (0, 1) è $\int_{0}^{t} \cosh w d w = \sinh t .$

Quindi l'involuta a partire da $(0, 1)$ è parametrizzata da

(t - \tanh t, 1 / \cosh t),

ed è quindi una trattrice.

Le altre involute non sono trattrici, poiché sono curve parallele di una trattrice.

Involute di una cicloide

La rappresentazione parametrica $\vec{c} (t) = (t - \sin t, 1 - \cos t)$ descrive una cicloide. A partire dal ${\vec{c}}^{'} (t) = (1 - \cos t, \sin t)$ , si ottiene (dopo aver usato alcune formule trigonometriche)

| {\vec{c}}^{'} (t) | = 2 \sin \frac{t}{2},

e

\int_{π}^{t} 2 \sin \frac{w}{2} d w = - 4 \cos \frac{t}{2} .

Quindi le equazioni dell'involuta corrispondente sono

\begin{matrix} X (t) & = - \frac{t}{3} \\ Y (t) & = \frac{t^{2}}{6} - \frac{1}{3} . \end{matrix}

che descrivono la cicloide rossa spostata del diagramma. Quindi le involute della cicloide $(t - \sin t, 1 - \cos t)$ sono curve parallele della cicloide

(t - \tanh t, 1 / \cosh t) .

Le curve parallele di una cicloide non sono cicloidi.

Involute ed evolute

L'evoluta di una data curva $c_{0}$ è costituita dai centri di curvatura di $c_{0}$ . Tra involute ed evolute vale la seguente relazione:^[3]^[4]

Una curva è l'evoluta di una qualsiasi delle sue evolventi (involute).

Involuta ed evoluta
Una trattrice (in rosso) come un'involuta di una catenaria
L'evoluta di una trattrice è una catenaria

Applicazioni

L'involuta ha alcune proprietà che lo rendono estremamente importante per l'industria degli ingranaggi: se due ingranaggi a maglie incrociate hanno denti con la forma del profilo di involute (piuttosto che, ad esempio, una forma triangolare tradizionale), formano un sistema di ingranaggi a spirale. Le loro velocità di rotazione relative sono costanti mentre i denti sono impegnati. Gli ingranaggi inoltre entrano sempre in contatto lungo un'unica linea di forza costante. Con denti di altre forme, le velocità e le forze relative aumentano e diminuiscono quando i denti successivi si impegnano, provocando vibrazioni, rumore e usura eccessiva. Per questo motivo, quasi tutti i moderni ingranaggi hanno la forma a evolvente.^[5]

Note

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↑ K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ..., Springer-Verlag, 2012,Template:ISBN, S. 30.
↑ R. Courant:Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band, Springer-Verlag, 1955, S. 267.
↑ V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth", Resonance 18(9): 817 to 31 Springerlink (subscription required).

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Involuta in MathWorld

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[3] K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ..., Springer-Verlag, 2012,Template:ISBN, S. 30.

[4] R. Courant:Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band, Springer-Verlag, 1955, S. 267.

[5] V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth", Resonance 18(9): 817 to 31 Springerlink (subscription required).

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Involuta

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