Rilevamento di Kosmann

In geometria differenziale, il rilevamento di Kosmann (in inglese Kosmann lift) di un campo vettoriale $X$, definito su una varietà riemanniana $(M,g)$, è la proiezione canonica $X_K$ sul fibrato dei riferimenti ortonormali del suo rilevamento naturale (in inglese natural lift) $\hat{X}$ definito sul fibrato dei riferimenti lineari. Prende il nome della matematica francese Yvette Kosmann-Schwarzbach.

Introduzione

In generale, assegnato un sottofibrato $Q\subset E$ di un fibrato ${\pi }_E:E\to M$ sopra $M$ e un campo vettoriale $Z$ su $E$, la sua restrizione $Z{|}_Q$ a $Q$ risulta essere un campo vettoriale "lungo" $Q$, non sopra (ovvero tangente a) $Q$. Se con $i_Q:Q\hookrightarrow E$ si denota l'immersione canonica, allora $Z{|}_Q$ risulta essere una sezione del fibrato (in inglese pullback bundle) $i_Q^{\ast }(TE)\to Q$, definito da:

$i_Q^{\ast }(TE)=\{(q,v)\in Q\times TE\mid i(q)={\tau }_E(v)\}\subset Q\times TE,$

dove ${\tau }_E:TE\to E$ è il fibrato tangente al fibrato $E$. Ora, si supponga che sia stata assegnata una decomposizione di Kosmann del fibrato $i_Q^{\ast }(TE)\to Q$, tale che

$i_Q^{\ast }(TE)=TQ\oplus ℳ(Q),$

i.e., in ogni punto $q\in Q$ vale $T_{q}E=T_{q}Q\oplus {ℳ}_u,$ dove ${ℳ}_u$ è un sottospazio vettoriale di $T_{q}E$ e si assume per ipotesi che $ℳ(Q)\to Q$ costituisca un fibrato vettoriale su $Q$. Segue che la restrizione $Z{|}_Q$ a $Q$ si decompone in un campo vettoriale tangente $Z_K$ definito sopra $Q$ e in un campo vettoriale transverso $Z_G,$ che risulta essere una sezione del fibrato $ℳ(Q)\to Q.$

Definizione

Sia ${\mathrm{F}}_{SO}(M)\to M$ il fibrato dei riferimenti ortonormali orientati di una varietà riemanniana orientata $(M,g)$ $n$-dimensionale. Esso è un $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$-sottofibrato principale del fibrato dei riferimenti lineari $\mathrm{F}M$ della varietà $M$. Il gruppo di struttura del fibrato principale $\mathrm{F}M$ è il gruppo lineare $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℝ)$. Per definizione, si può dire che è data una $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$-struttura riduttiva classica. Il gruppo speciale ortogonale $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ è un sottogruppo di Lie riduttivo di $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℝ)$. Infatti, vale la seguente somma diretta $𝔤𝔩(n)=𝔰𝔬(n)\oplus 𝔪$, dove $𝔤𝔩(n)$ è l'algebra di Lie di $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℝ)$, $𝔰𝔬(n)$ è l'algebra di Lie di $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$, e $𝔪$ è il sottospazio vettoriale ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_{\mathrm{S}\mathrm{O}}$-invariante delle matrici simmetriche, i.e. ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_a𝔪\subset 𝔪$ per ogni $a\in \mathrm{S}\mathrm{O}(n).$

Sia $i_{{\mathrm{F}}_{SO}(M)}:{\mathrm{F}}_{SO}(M)\hookrightarrow \mathrm{F}M$ l'immersione canonica.

Si dimostra che esiste una decomposizione di Kosmann canonica del fibrato $i_{{\mathrm{F}}_{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm{F}M)\to {\mathrm{F}}_{SO}(M)$ tale che

$i_{{\mathrm{F}}_{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm{F}M)=T{\mathrm{F}}_{SO}(M)\oplus ℳ({\mathrm{F}}_{SO}(M)),$

i.e., in ogni $u\in {\mathrm{F}}_{SO}(M)$ si ha $T_u\mathrm{F}M=T_u{\mathrm{F}}_{SO}(M)\oplus {ℳ}_u,$ dove ${ℳ}_u$ è la fibra sopra $u$ del sottofibrato $ℳ({\mathrm{F}}_{SO}(M))\to {\mathrm{F}}_{SO}(M)$ di $i_{{\mathrm{F}}_{SO}(M)}^{\ast }(V\mathrm{F}M)\to {\mathrm{F}}_{SO}(M)$. Con $V\mathrm{F}M$ si denota il sottofibrato verticale di $T\mathrm{F}M$; in ogni $u\in {\mathrm{F}}_{SO}(M)$ la fibra ${ℳ}_u$ è isomorfa allo spazio vettoriale delle matrici simmetriche $𝔪$.

Dalla decomposizione canonica ed equivariante sopra riportata, segue che la restrizione $Z{|}_{{\mathrm{F}}_{SO}(M)}$ a ${\mathrm{F}}_{SO}(M)$ di un campo vettoriale $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℝ)$-invariante $Z$ definito sopra $\mathrm{F}M$ si decompone nella somma di un campo vettoriale $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$-invariante $Z_K$ definito sopra ${\mathrm{F}}_{SO}(M)$ e di un campo vettoriale trasverso $Z_G$.

In particolare, per ogni campo vettoriale $X$ definito sopra la varietà di base $(M,g)$, segue che la restrizione $\hat{X}{|}_{{\mathrm{F}}_{SO}(M)}$ a ${\mathrm{F}}_{SO}(M)\to M$ del suo rilevamento naturale $\hat{X}$ definito sopra $\mathrm{F}M\to M$ si decompone nella somma di un campo vettoriale $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$-invariante $X_K$ definito sopra ${\mathrm{F}}_{SO}(M)$, detto rilevamento di Kosmann di $X$, e di un campo vettoriale trasverso $X_G$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Campo vettoriale
• Fibrato principale
• Varietà riemanniana
• Struttura di spin