Serie di Wiener

In matematica, la serie Wiener (o Espressione G-funzionale di Wiener) ha origine dal libro di Norbert Wiener del 1958. Si tratta di un'espansione ortogonale per funzionali non lineari strettamente correlata alla serie di Volterra e che ha la stessa relazione con l'espansione polinomiale di Hermite ortogonale a una serie di potenze. Per questo motivo è noto anche come espansione Wiener-Hermite. L'analogo dei coefficienti è indicato come kernel Wiener. I termini della serie sono ortogonali (non correlati) rispetto a un input statistico di rumore bianco. Questa proprietà consente ai termini di essere identificati nelle applicazioni dal metodo Lee-Schetzen.

La serie di Wiener è importante nell'identificazione del sistema dinamico. In questo contesto, la serie approssima la relazione funzionale dell'output all'intera cronologia dell'input di sistema in qualsiasi momento. La serie Wiener è stata applicata principalmente all'identificazione di sistemi biologici, in particolare nelle neuroscienze.

Il nome serie di Wiener è utilizzato quasi esclusivamente nella teoria dei sistemi. Nella letteratura matematica si dimostra come l'espansione Itô (1951) ha una forma diversa ma è del tutto equivalente alla serie di Wiener.

La serie di Wiener non deve essere confusa con il filtro di Wiener, che è un altro algoritmo sviluppato da Norbert Wiener utilizzato nell'elaborazione del segnale.

Espressioni G-funzionali di Wiener

Dato un sistema con una coppia di input / output $(x(t),y(t))$ dove l'input è un rumore bianco con valore medio zero e potenza A, possiamo scrivere l'output del sistema come somma di una serie di funzionali G di Wiener$y(n)=\sum _p(G_{p}x)(n)$

Di seguito verranno fornite le espressioni dei funzionali G fino al quinto ordine:

$(G_{0}x)(n)=k_0=E\left\{y(n)\right\};$

$(G_{1}x)(n)=\sum _{{\tau }_1=0}^{N_1-1}{k}_1({\tau }_1)x(n-{\tau }_1);$

$(G_{2}x)(n)=\sum _{{\tau }_1,{\tau }_2=0}^{N_2-1}{k}_2({\tau }_1,{\tau }_2)x(n-{\tau }_1)x(n-{\tau }_2)-A\sum _{{\tau }_1=0}^{N_2-1}{k}_2({\tau }_1,{\tau }_1);$

$(G_{3}x)(n)=\sum _{{\tau }_1,\dots ,{\tau }_3=0}^{N_3-1}{k}_3({\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_3)x(n-{\tau }_1)x(n-{\tau }_2)x(n-{\tau }_3)-3A\sum _{{\tau }_1=0}^{N_3-1}\sum _{{\tau }_2=0}^{N_3-1}{k}_3({\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_2)x(n-{\tau }_1);$

$(G_{4}x)(n)=\sum _{{\tau }_1,\dots ,{\tau }_4=0}^{N_4-1}{k}_4({\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_3,{\tau }_4)x(n-{\tau }_1)x(n-{\tau }_2)x(n-{\tau }_3)x(n-{\tau }_4)+$

$-6A\sum _{{\tau }_1,{\tau }_2=0}^{N_4-1}\sum _{{\tau }_3=0}^{N_4-1}{k}_4({\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_3,{\tau }_3)x(n-{\tau }_1)x(n-{\tau }_2)+3A^2\sum _{{\tau }_1,{\tau }_2=0}^{N_4-1}{k}_4({\tau }_1,{\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_2);$

$(G_{5}x)(n)=\sum _{{\tau }_1\dots {\tau }_5=0}^{N_5-1}{k}_5({\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_3,{\tau }_4,{\tau }_5)x(n-{\tau }_1)x(n-{\tau }_2)x(n-{\tau }_3)x(n-{\tau }_4)x(n-{\tau }_5)+$

$-10A\sum _{{\tau }_1,\dots {\tau }_3=0}^{N_5-1}\sum _{{\tau }_4=0}^{N_5-1}{k}_5({\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_3,{\tau }_4,{\tau }_4)x(n-{\tau }_1)x(n-{\tau }_2)x(n-{\tau }_3)$

$+15A^2\sum _{{\tau }_1=0}^{N_5-1}\sum _{{\tau }_2,{\tau }_3=0}^{N_5-1}{k}_5({\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_2,{\tau }_3,{\tau }_3)x(n-{\tau }_1).$

Bibliografia

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• Itô K "A multiple Wiener integral" J. Math. Soc. Japan 3 1951 157-169
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Voci correlate

• Serie di Volterra
• Identificazione di sistemi dinamici