Notazione di Voigt

In algebra multilineare la notazione di Voigt, nota anche come notazione di Mandel-Voigt, notazione di Nye o notazione di Kelvin, è un modo di rappresentare i tensori simmetrici riducendone l'ordine. L'idea di base sta nel rappresentare il tensore unicamente con le sue componenti indipendenti.

Ad esempio, la matrice simmetrica $\underset{\_}{\underset{\_}{X}}$può essere rappresentata da un vettore $\underset{\_}{x}$ nel seguente modo:

$\underset{\_}{\underset{\_}{X}}=\left[\begin{array}{cc}{x}_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{array}\right]⟹\underset{\_}{x}=\{x_{11},x_{22},x_{12}\}$

Regola mnemonica

Una semplice regola mnemonica per la scrittura di un tensore simmetrico secondo la notazione di Voigt, può essere la seguente:

Presa ad esempio una matrice 3×3, che è un tensore di ordine 2, si prenda la matrice triangolare superiore associata, le componenti del vettore corrispondente saranno nell'ordine:

1. I termini lungo la diagonale
2. I termini incontrati risalendo la terza colonna
3. I termini sulla prima riga, partendo dal fondo, sino a ricongiungersi con la diagonale

$⟹\underset{\_}{\sigma }=\{{\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{zz},{\sigma }_{yz},{\sigma }_{xz},{\sigma }_{xy}\}$

In alternativa si può prendere la matrice triangolare inferiore e chiudere il triangolo in senso opposto.

$\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& & \\ {\sigma }_{yx}& {\sigma }_{yy}& \\ {\sigma }_{zx}& {\sigma }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right]⟹\underset{\_}{\sigma }=\{{\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{zz},{\sigma }_{zy},{\sigma }_{zx},{\sigma }_{yx}\}$

Applicazioni

Le applicazioni di questa notazione sono molteplici. Casi notevoli sono il metodo degli elementi finiti e la legge di Hooke generalizzata.

Prendendo ad esempio quest'ultima si ha:

${\sigma }_{ij}=C_{ijkl}{\epsilon }_{kl}$

dove $\sigma$ è il tensore degli sforzi, $\epsilon$ il tensore delle deformazioni, tensori di ordine 2 rappresentabili come matrici, e $C$ è una matrice 6×6 detta matrice di rigidezza costitutiva:

$\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{yx}& {\tau }_{zx}\\ {\tau }_{xy}& {\sigma }_{yy}& {\tau }_{zy}\\ {\tau }_{xz}& {\tau }_{yz}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right]\underset{\_}{\underset{\_}{\epsilon }}=\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& {\gamma }_{yx}/2& {\gamma }_{zx}/2\\ {\gamma }_{xy}/2& {\epsilon }_{yy}& {\gamma }_{zy}/2\\ {\gamma }_{xz}/2& {\gamma }_{yz}/2& {\epsilon }_{zz}\end{array}\right]$

Riscrivendo la legge di Hooke riscritta con la notazione di Voigt si ha:

${\sigma }_i=C_{ij}{\epsilon }_j$

dove $\sigma$ è il vettore delle tensioni, $\epsilon$ il vettore delle deformazioni e $C$ la matrice di rigidezza costitutiva:

$\underset{\_}{\sigma }=\left\{\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{zx}\\ {\tau }_{yz}\end{array}\right\}\underset{\_}{\epsilon }=\left\{\begin{array}{c}{\epsilon }_{xx}\\ {\epsilon }_{yy}\\ {\epsilon }_{zz}\\ {\gamma }_{xy}\\ {\gamma }_{zx}\\ {\gamma }_{yz}\end{array}\right\}$