Trasformato secondo Burkholder

Template:F Nella teoria delle probabilità il trasformato secondo Burkholder è un processo stocastico $(Y_n{)}_{n⩾0}$ ottenuto a partire da una filtrazione $ℱ=({ℱ}_n{)}_{n⩾0}$ e due processi $(X_n{)}_{n⩾0}$ e $(V_n{)}_{n⩾1}$, che hanno le seguenti proprietà:

• $(X_n{)}_{n⩾0}$ è adattato rispetto a $ℱ=({ℱ}_n{)}_{n⩾0}$
• $(V_n{)}_{n⩾1}$ è prevedibile rispetto a $ℱ=({ℱ}_n{)}_{n⩾0}$

Per ogni $n⩾0$ la variabile aleatoria $Y_n$ è così definita:

$\{\begin{array}{c}{Y}_0=X_0\\ Y_n-Y_{n-1}=V_n(X_n-X_{n-1}),\mathrm{\forall }n>0\end{array}⟹Y_n=X_0+\sum _{k=1}^n{V}_k(X_k-X_{k-1})$

Trasformato di una martingala

Si assume per ipotesi che le $Y_n$ siano integrabili. Allora valgono i seguenti fatti:

(a) se $(X_n{)}_n$ è una $ℱ$-martingala, allora anche $(Y_n{)}_n$ è una $ℱ$-martingala

(b) se $(X_n{)}_n$ è una $ℱ$-submartingala e $V_n>0,\mathrm{\forall }n⩾0$, allora anche $(Y_n{)}_n$ è una $ℱ$-submartingala

Dimostrazione

Si ricorda che il processo stocastico $(Y_n{)}_n$ è una martingala se soddisfa le seguenti proprietà:

1. $(Y_n{)}_n$ è adattato rispetto a $ℱ$
2. tutti gli $Y_n$ sono integrabili
3. $E[Y_n|{ℱ}_{n-1}]=Y_{n-1}$, ossia la previsione condizionale di $Y_n$ sapendo ${ℱ}_{n-1}$ è pari a $Y_{n-1}$, per ogni $n$

Se il processo $(Y_n{)}_n$ è una submartingala il punto (3) deve verificare che $E[Y_n|{ℱ}_{n-1}]⩾Y_{n-1}$

Verifica punto (1)

Osservando la formula del trasformato $Y_n=X_0+\sum _{k=1}^n{V}_k(X_k-X_{k-1})$ si ricava che:

• $(X_k-X_{k-1})$ è ${ℱ}_k$-misurabile, in quanto il processo $(X_n{)}_n$ è adattato rispetto alla filtrazione $ℱ$
• $V_k$ è ${ℱ}_k$-misurabile, in quanto il processo $(V_n{)}_n$ è prevedibile rispetto alla filtrazione $ℱ$
• Da ciò ne segue che il prodotto $V_k(X_k-X_{k-1})$ è ${ℱ}_k$-misurabile e la somma fino a $n$ è ${ℱ}_n$-misurabile

Il punto (1) è verificato in quanto tutti gli $Y_n$ sono ${ℱ}_n$-misurabili e ciò implica che tutto il processo $(Y_n{)}_n$ è adattato rispetto a $ℱ$.

Verifica punto (2)

Il punto (2) è verificato per ipotesi.

Verifica punto (3)

Applicando la formula del trasformato si ha che $E[Y_n-Y_{n-1}|{ℱ}_{n-1}]=E[V_n(X_n-X_{n-1})|{ℱ}_{n-1}]$

Dato che $V_n$ è ${ℱ}_{𝓃\mathcal{-}1}$-misurabile può uscire dalla previsione in quanto costante.

$E[V_n(X_n-X_{n-1})|{ℱ}_{n-1}]=V_{n}E[X_n-X_{n-1}|{ℱ}_{n-1}]$

Essendo $(X_n{)}_n$ una $ℱ$-martingala si ha che $E[X_n-X_{n-1}|{ℱ}_{n-1}]=0$ per definizione e quindi anche $V_{n}E[X_n-X_{n-1}|{ℱ}_{n-1}]=0$ (punto 3 verificato)

Nel caso in cui $(X_n{)}_n$ sia una submartingala $E[X_n-X_{n-1}|{ℱ}_{n-1}]⩾0$e quindi anche $V_{n}E[X_n-X_{n-1}|{ℱ}_{n-1}]⩾0$ (punto 3 verificato)