Energia di Dirichlet

In matematica, l'energia di Dirichlet, il cui nome si deve a Peter Gustav Lejeune Dirichlet, è un funzionale quadratico definito sullo spazio di Sobolev $H^1$ che è strettamente legato all'equazione di Laplace.

Dato un insieme aperto $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ e una funzione $u:\mathrm{\Omega }\to ℝ$, l'energia di Dirichlet è il numero reale:

$E[u]=\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\Vert \mathrm{\nabla }u(x){\Vert }^2\mathrm{d}V$

dove $\mathrm{\nabla }u:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ è il campo vettoriale gradiente di $u$. Dal momento che l'integrale è una quantità non-negativa, l'energia di Dirichlet è essa stessa non-negativa, ovvero $E[u]\ge 0$ per ogni scelta di $u$.

Risolvere l'equazione di Laplace:

$-\mathrm{\Delta }u(x)=0\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega }$

con appropriate condizioni al contorno, è equivalente alla soluzione del problema variazionale di trovare la funzione $u$ che soddisfa le condizioni al contorno e minimizza l'energia di Dirichlet.

Bibliografia

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Voci correlate

• Equazione di Laplace
• Principio di Dirichlet

Collegamenti esterni

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• Template:EnLars Diening, Petteri Harjulehto, Peter Hästö, Michael Růžička - Dirichlet Energy Integral and Laplace Equation (Springer)