Parentesi di Jacobi

In matematica, una parentesi di Jacobi (da Carl Gustav Jakob Jacobi) di due funzioni $f(x,y,q)$ e $g(x,y,q)$ di $2n+1$ variabili indipendenti $x=(x_1,\dots ,x_n)$, $y$ e $q=(q_1,\dots ,q_n)$, è l'espressione differenziale:

$[f,g]=\sum _{k=1}^n[\frac{\partial f}{\partial q_k}(\frac{\partial g}{\partial x_k}+q_k\frac{\partial g}{\partial y})-\frac{\partial g}{\partial q_k}(\frac{\partial f}{\partial x_k}+q_k\frac{\partial f}{\partial y})]$

Essa soddisfa le proprietà:

$[f,g]=-[g,f]$

$[f,gh]=g[f,h]+h[f,g]$

e l'Identità di Jacobi.

Un caso particolare di questa relazione, quello in cui $f$ e $g$ non dipendono da $y$, è la parentesi di Poisson:

$[f,g]=\sum _{k=1}^n(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial g}{\partial x_k}-\frac{\partial g}{\partial q_k}\frac{\partial f}{\partial x_k})$

Bibliografia

• Template:En V.I. Arnol'd, Mathematical methods of classical mechanics , Springer (1978)

Voci correlate

• Identità di Jacobi
• Parentesi di Dirac
• Parentesi di Poisson

Collegamenti esterni

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