Funzioni di Bickley-Naylor

Le funzioni di Bickley-Naylor ${\mathrm{K}\mathrm{i}}_n(x)$, dove $n\in \mathbb{N}$ e $x\in ℝ$ sono definite come:

${\mathrm{K}\mathrm{i}}_n(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x\cosh u}}{{\cosh }^{n}u}du,$

dove $cosh$ è la funzione coseno iperbolico.

Proprietà

Si ha:

$\frac{d}{dx}{\mathrm{K}\mathrm{i}}_n(x)=-{\mathrm{K}\mathrm{i}}_{n-1}(x).$

Per $n=0$,

${\mathrm{K}\mathrm{i}}_0(x)={\mathrm{K}}_0(x)$

dove ${\mathrm{K}}_0$ è una funzione di Bessel modificata.

Per $n=1$

${\mathrm{K}\mathrm{i}}_1(x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{K}}_0(t)dt.$

La funzione ${\mathrm{K}\mathrm{i}}_1(x)$ è anche collegata con l'integrale di Sievert:

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}d\varphi e^{-x/\cos \varphi }={\mathrm{K}\mathrm{i}}_1(x).$

Più generalmente,

${\mathrm{K}\mathrm{i}}_n(x)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}d\varphi {\cos }^{n-1}\varphi e^{-x/\cos \varphi }$.

Applicazioni

Le funzioni di Bickley-Naylor si incontrano in problemi di diffusione dei neutroni e problemi di convezione.

Bibliografia

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