Matrice involutoria

Template:F In algebra lineare per matrice involutoria si intende una matrice che coincide con la propria inversa; si tratta quindi di un caso particolare di matrice invertibile. In particolare le matrici involutive o involuzioni soddisfano l'equazione:

${𝐀}^2=I$

che impone per gli autovalori i valori +1 e -1. Alcune matrici involutorie sui reali sono interpretabili come trasformazioni lineari involutorie di uno spazio Rⁿ in sé e più concretamente come riflessioni.

Si vede facilmente che anche la matrice opposta di una involutoria è una matrice involutoria.

Questi sono alcuni esempi di matrici involutorie che, come si può vedere abbastanza facilmente, rappresentano riflessioni in R²

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\sin \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & -\sin \theta \end{array}\right]$

e in R³

$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& -1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\sin \theta & 0& \cos \theta \\ 0& -1& 0\\ \cos \theta & 0& -\sin \theta \end{array}\right]$

Altri esempi di matrici involutorie:

$\left[\begin{array}{cc}0& i\\ -i& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1& 0& 0\end{array}\right]$

Voci correlate

• Matrice nilpotente
• Glossario sulle matrici

Collegamenti esterni

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