Primi supersingolari

In matematica, in particolare in teoria algebrica dei numeri, un numero primo $p$ è detto supersingolare per una curva ellittica $E$ definita sui numeri razionali se la riduzione di $E$ modulo $p$ è una curva ellittica supersingolare sul campo finito ${𝔽}_p$.

Più in generale, se $K$ è un qualsiasi campo globale, cioè un'estensione finita di $\mathbb{Q}$ o di ${𝔽}_p(t)$, e se $A$ è una varietà abeliana definita su $K$, allora un primo supersingolare $𝔭$ per $A$ è un posto finito di $K$ tale che la riduzione di $A$ modulo $𝔭$ è una varietà abeliana supersingolare.

Alternativamente, il termine primo supersingolare è usato per un divisore primo dell'ordine del gruppo mostro $M$, il più grande dei gruppi eccezionali semplici. In questo caso ci sono precisamente 15 primi supersingolari: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, e 71.

Sebbene queste due definizioni siano sicuramente distinte (la prima è relativa a una particolare curva ellittica, mentre la seconda no), esse sono relazionate. Infatti, per un numero primo $p$, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(i) La curva modulare $X_0^{+}(p)$ ha genere zero.

(ii) Ogni curva ellittica supersingolare di caratteristica $p$ può essere definita sopra il sottocampo del primo ${𝔽}_p$.

(iii) L'ordine del gruppo mostro è divisibile per $p$.

L'equivalenza è dovuta a Andrew Ogg. Più precisamente, nel 1975 Ogg mostrò che i numeri primi che soddisfano (i) sono esattamente i 15 primi elencati sopra e in breve intuì dell'esistenza di un gruppo eccezionale semplice avente esattamente questi numeri primi come divisori. Questa strana coincidenza diede avvio alla teoria del Monstrous Moonshine.

Bibliografia

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• Ogg, A. P. "Modular Functions." In The Santa Cruz Conference on Finite Groups. Held at the University of California, Santa Cruz, Calif., June 25-July 20, 1979 (Ed. B. Cooperstein and G. Mason). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 521–532, 1980.

Voci correlate

• Gruppo mostro
• Curva ellittica
• Curva modulare
• Matrice di Hasse-Witt