Trasformata di Mellin

La trasformata di Mellin, il cui nome deriva dal matematico finlandese Hjalmar Mellin, è una trasformata integrale che può essere considerata la versione moltiplicativa della trasformata di Laplace bilatera.

Definizione

La trasformata di Mellin di una funzione $f$ è data da:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\phi (s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}f(x)dx$

Se le condizioni poste dal teorema di inversione di Mellin sono soddisfatte si può definire la trasformata inversa di Mellin:

$\left\{{ℳ}^{-1}\phi \right\}(x)=f(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-s}\phi (s)ds$

dove l'integrale di linea è valutato lungo una linea verticale nel piano complesso.

Relazione con le altre trasformate

La trasformata di Mellin può essere definita attraverso la trasformata di Laplace bilatera come:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℒf(e^{-x})\}(s)$

e viceversa, la trasformata di Laplace bilatera può essere definita a partire dalla trasformata di Mellin nel seguente modo:

$\left\{ℒf\right\}(s)=\{ℳf(-\ln x)\}(s)$

La trasformata di Laplace bilatera integra rispetto alla misura di Haar additiva $dx$, che è invariante sotto traslazione:

$d(x+a)=dx$

mentre la trasformata di Mellin può essere vista come un'integrazione che utilizza il nucleo integrale $x^s$ rispetto alla misura di Haar moltiplicativa $dx/x$, che è invariante rispetto ad una dilatazione del tipo $x\mapsto ax$, e dunque:

$\frac{d(ax)}{ax}=\frac{dx}{x}$

La trasformata di Mellin si può anche definire in termini della trasformata di Fourier:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℒf(e^{-x})\}(s)=\{ℱf(e^{-x})\}(-is)$

e viceversa:

$\left\{ℱf\right\}(-s)=\left\{ℒf\right\}(-is)=\{ℳf(-\ln x)\}(-is)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Teorema di inversione di Mellin
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Laplace

Collegamenti esterni

• Template:En Mellin Transform and Its Applications (Università Purdue)
• Template:En Trasformata di Mellin (MathWorld)
• Template:EnTables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
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