Funzione trascendente di Lerch

In matematica, la funzione trascendente di Lerch è una generalizzazione della funzione zeta di Hurwitz e della funzione polilogaritmo. Fu studiata da Lipschitz nel 1857 e poi da Lerch nel 1887.

È definita con la serie:

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{(a+n{)}^s},$

con $z,s\in ℂ,a\notin {\mathbb{Z}}_{\le 0}$. La serie è convergente per $|z|<1$. Per $|z|=1$, la serie è convergente solamente per $\mathrm{R}\mathrm{e}s>1$.

Ovviamente:

$\mathrm{\Phi }(1,s,a)=\zeta (s,a)$, la funzione zeta di Hurwitz.

Per $a=1$, si ha $z\mathrm{\Phi }(z,s,1)=\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{s}}(z)$, la funzione polilogaritmo.

È possibile dimostrare che:

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{e}^{-at}}{1-z{e}^{-t}}dt$

sviluppando $\frac{1}{1-z{e}^{-t}}=1+z{e}^{-t}+z^2{e}^{-2t}+\dots$.

La funzione zeta di Lerch è definita come

$L(x)=\mathrm{\Phi }(e^{i2\pi x},a,s)$.

Bibliografia

• Template:Fr M. Lerch Note sur la function $R(w,x,s)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{2k\pi ix}}{(w+k{)}^s}$, Acta Mathematica 11, 19 (1887).
• Template:De R. Lipschitz Untersuchung einer aus vier Elementen gebildeten Reihe. Journal für die reine und angewandte Mathematik 54 313 (1857).
• Template:De R. Lipschitz Untersuchung der Eigenschaften einer Gattung von unendlichen Reihen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 105 127 (1889).
• Template:En T. Apostol On the Lerch zeta function. Pacific J. Math. 1, 161 (1951).
• Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. " Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 27–31, 1981.

Collegamenti esterni

• Wolfram function site Funzione di Lerch
• MathWorld Funzione di Lerch
• Marco Dalai Recurrence relations for the Lerch Phi function and applications