Laplaciano vettoriale

In matematica e fisica, l'operatore di Laplace vettoriale, anche chiamato laplaciano vettore o laplaciano vettoriale, indicato con $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{\mathrm{\nabla }}}$, è un operatore differenziale definito su campi vettoriali. Esso è strettamente legato al laplaciano scalare. Infatti, entrambi devono il proprio nome a Pierre-Simon Laplace, matematico e fisico francese che studiò questi operatori. Naturalmente i due operatori differiscono tra loro: quello scalare opera su funzioni scalari e restituisce uno scalare; quello vettoriale opera su funzioni vettoriali e restituisce un vettore.

Per indicare il laplaciano vettoriale, talvolta, si usa anche il simbolo ${\mathrm{\nabla }}^2$, che in genere indica il laplaciano scalare, cadendo nella possibilità di creare confusione. Di solito, nelle trattazioni che adottano questa notazione, il laplaciano scalare è indicato con il simbolo $\mathrm{\Delta }$.

Definizione

Data una funzione $𝐅$ definita in uno spazio euclideo, il laplaciano vettore è definito come il vettore che ha per componenti il laplaciano scalare delle funzioni componenti di $𝐅$:

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{\mathrm{\nabla }}}𝐅=\{{\mathrm{\nabla }}^2{F}_x,{\mathrm{\nabla }}^2{F}_y,{\mathrm{\nabla }}^2{F}_z\}$

in cui abbiamo denotato con ${\mathrm{\nabla }}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$ il laplaciano scalare.

Esiste un'uguaglianza vettoriale che lega laplaciano vettore al rotore del rotore di un campo vettoriale:

$\mathrm{\nabla }\times \left(\mathrm{\nabla }\mathbf{\times }𝐅\right)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\mathbf{\cdot }𝐅)-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{\mathrm{\nabla }}}𝐅$

Voci correlate

• Gradiente
• Divergenza
• Rotore (matematica)
• Operatore di Laplace

Collegamenti esterni

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