Formula di Klein-Nishina

In elettrodinamica quantistica, la formula di Klein-Nishina fornisce la sezione d'urto differenziale della diffusione di un fotone da un elettrone libero (scattering Compton) al più basso ordine di approssimazione (${\alpha }^2$) in termini della costante di struttura fine. Nel limite di bassa frequenza, si ritrova la sezione d'urto dello scattering Thomson.

Tale sezione d'urto vale

$\frac{\mathrm{d}\sigma }{\mathrm{d}\cos \theta }=\frac{\pi {\hslash }^2{\alpha }^2}{m_e^2{c}^2}{\left(\frac{k^{\prime }}{k}\right)}^2(\frac{k}{k^{\prime }}+\frac{k^{\prime }}{k}-{\sin }^2\theta )$

dove $k$ è la frequenza del fotone incidente, $k^{\prime }$ quella di quello emesso e $\alpha$ la costante di struttura fine

Il valore di $k^{\prime }/k$ si ricava dalla cinematica dello scattering Compton e vale

$\frac{k^{\prime }}{k}=\frac{1}{1+\hslash k(1-\cos \theta )/(m_{e}c)}$

Derivazione

Consideriamo il processo di diffusione di un fotone da parte di un elettrone inizialmente fermo. Al primo ordine di approssimazione, il processo è descritto dai diagrammi di Feynman

Dalle regole di Feynman dell'elettrodinamica quantistica, considerando:

• un fotone entrante di quadrimomento $k^{\mu }=(k,𝐤)$, polarizzazione $A$
• un elettrone fermo nello stato iniziale di quadrimomento $p^{\mu }=(m_e,0)$, spin $r$
• un fotone uscente di quadrimomento $k{\text{'}}^{\mu }=(k^{\prime },{𝐤}^{\prime })$, polarizzazione $A^{\prime }$
• un elettrone uscente di quadrimomento $p{\text{'}}^{\mu }=({p_0}^{\prime },{𝐩}^{\prime })$, spin $r^{\prime }$
• il propagatore fermionico $S(p+k)=\frac{p/+k/+m_e}{(p+k{)}^2-m_e^2}$

e il processo analogo in cui si scambia il momento del fotone incidente $k\to -k^{\prime }$

tenendo conto della cinematica per cui $k^{\mu }k{\text{'}}_{\mu }=k{k}^{\prime }(1-\cos \theta )$ e ${p_0}^{\prime }=\sqrt{k^2+k{\text{'}}^2-2k{k}^{\prime }\cos \theta +m_e^2}$

si ottiene l'elemento di matrice

$i{ℳ}_{r{r}^{\prime }}^{A{A}^{\prime }}=-i{e}^2{\epsilon }_{\mu }^{A^{\prime }}(k^{\prime }){\overline{u}}_{r^{\prime }}({𝐩}^{\prime }){\gamma }^{\mu }\frac{(p/+k/+m_e)}{(p+k{)}^2-m_e^2}{\gamma }^{\nu }{\epsilon }_{\nu }^A(k)u_r(𝐩)-i{e}^2{\epsilon }_{\mu }^{A^{\prime }}(k^{\prime }){\overline{u}}_{r^{\prime }}({𝐩}^{\prime }){\gamma }^{\mu }\frac{(p/-k{/}^{\prime }+m_e)}{(p-k^{\prime }{)}^2-m_e^2}{\gamma }^{\nu }{\epsilon }_{\nu }^A(k)u_r(𝐩)$

Sfruttando le proprietà dei polarizzatori, per cui $p^{\mu }{\epsilon }_{\mu }^A(k)=0$ se $p^{\mu }$ non ha componente spaziale mentre $k^{\mu }{\epsilon }_{\mu }^A(k)=0$ sulle polarizzazioni fisiche, si può semplificare quest'espressione fino ad ottenere

$i{ℳ}_{r{r}^{\prime }}^{A{A}^{\prime }}=-\frac{i{e}^2}{2k{k}^{\prime }{m}_e}{\overline{u}}_{r^{\prime }}(𝐤-{𝐤}^{\prime })M_{A{A}^{\prime }}{u}_r(0)$

dove $M_{A{A}^{\prime }}=k^{\prime }\epsilon {/}_{\rho }^{A^{\prime }}(k^{\prime })k/\epsilon {/}_A^{\rho }(k)+k\epsilon {/}_{\rho }^A(k)k{/}^{\prime }\epsilon {/}_{A^{\prime }}^{\rho }(k^{\prime })$

Per il calcolo della sezione d'urto è quindi necessario calcolare il quadrato dell'elemento di matrice mediato sulle polarizzazioni e sugli spin. Si otterrà quindi

${\overline{ℳ}}^2=\frac{1}{2}\sum _{r{r}^{\prime }}\frac{1}{2}\sum _{A{A}^{\prime }}{ℳ}_{r{r}^{\prime }}^{2A{A}^{\prime }}=\frac{e^4}{8(k{k}^{\prime }{m}_e{)}^2}\sum _r{u}_r(0){\overline{u}}_r(0){\overline{M}}_{A{A}^{\prime }}\sum _{r^{\prime }}{u}_{r^{\prime }}(𝐤-{𝐤}^{\prime }){\overline{u}}_{r^{\prime }}(𝐤-{𝐤}^{\prime })M_{A{A}^{\prime }}$

Sfruttando la relazione

$\sum _r{u}_r(𝐩){\overline{u}}_r(𝐩)=p/+m_e$

abbiamo

${\overline{ℳ}}^2=\frac{1}{2}\sum _{A{A}^{\prime }}{ℳ}^{2A{A}^{\prime }}=\frac{e^4}{8(k{k}^{\prime }{m}_e{)}^2}\frac{1}{2}\sum _{A{A}^{\prime }}\mathrm{t}\mathrm{r}[(p{/}^{\prime }+m_e){\overline{M}}^{A{A}^{\prime }}(p/+m_e)M^{A{A}^{\prime }}]$

Ora, $(p{/}^{\prime }+m_e){\overline{M}}^{A{A}^{\prime }}(p/+m_e)M^{A{A}^{\prime }}=\frac{e^4}{8(k{k}^{\prime }{m}_e{)}^2}\frac{1}{2}\sum _{A{A}^{\prime }}[32m_e^2{k}^{2}k{\text{'}}^2({\epsilon }_A^{\mu }(k){\epsilon }_{A^{\prime }\mu }(k^{\prime }){)}^2+8k{k}^{\prime }{m}_e(k^{\mu }k{\text{'}}_{\mu })(k-k^{\prime })]$

Rimane da svolgere la media sulle polarizzazioni. Per farlo è necessario sfruttare l'uguaglianza

$\sum _A{\epsilon }_A^{\mu }(k){\epsilon }_{A\nu }(k)={\mathrm{\Pi }}_{\mu \nu }(k)=-{\eta }_{\mu \nu }+\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }^{*}+k_{\nu }{k}_{\mu }^{*}}{k^{\lambda }{k}_{\lambda }^{*}}$

da cui, tenendo conto che dalla cinematica abbiamo

$k^{\mu }k{\text{'}}_{\mu }=k{k}^{\prime }(1-\cos \theta )$

e quindi (${𝐤}^{*}=-𝐤$)

$k^{\mu }{k}_{\mu }^{\text{'}*}=k{k}^{\prime }(1+\cos \theta )$

otteniamo infine

${\overline{ℳ}}^2=\frac{e^4}{8(k{k}^{\prime }{m}_e{)}^2}16m_e^2{k}^{2}k{\text{'}}^2(\frac{k^{\prime }}{k}+\frac{k}{k^{\prime }}-{\sin }^2\theta )$

La sezione d'urto si ricava applicando la formula generale

$\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{4p^{\mu }{k}_{\mu }}{\overline{ℳ}}^2\int \frac{\mathrm{d}{𝐤}^{\prime }}{(2\pi {)}^{3}2k^{\prime }}\int \frac{\mathrm{d}{𝐩}^{\prime }}{(2\pi {)}^{3}2{p_0}^{\prime }}(2\pi {)}^4{\delta }^{(4)}(k+p-k^{\prime }-p^{\prime })$

Ora, $p^{\mu }{k}_{\mu }=k{m}_e$ mentre, eliminando l'integrazione in $\mathrm{d}{𝐩}^{\prime }$ attraverso la delta di Dirac e scomponendo quella in $\mathrm{d}{𝐤}^{\prime }$ nella parte radiale e angolare otteniamo finalmente

$\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{4k{m}_e}\frac{e^4}{16(k{k}^{\prime }{m}_e{)}^2}16m_e^2{k}^{2}k{\text{'}}^2(\frac{k^{\prime }}{k}+\frac{k}{k^{\prime }}-{\sin }^2\theta )\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}{k}^{\prime }{k}^{\prime }}{(2\pi {)}^3}\int \frac{\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\cos \theta }{2{p_0}^{\prime }(k^{\prime })}(2\pi )\delta (k^{\prime }+{p_0}^{\prime }(k^{\prime })-m_e-k)$

e quindi, essendo il $k^{\prime }$ che risolve l'equazione nella delta di Dirac quello corrispondente alla conservazione dell'energia, ovvero

$\frac{k{m}_e}{m_e+k(1-\cos \theta )}$

si trova, effettuando le opportune sostituzioni, la formula di Klein-Nishina.

Limite di bassa frequenza

Per fotoni di bassa frequenza, ovvero nel limite non relativistico, abbiamo $k\to 0$ e quindi $k^{\prime }/k\to 1$. In questo caso la formula di Klein-Nishina diventa

$\frac{\mathrm{d}\sigma }{\mathrm{d}\cos \theta }=\frac{\pi {\alpha }^2{\hslash }^2}{m_e^2{c}^2}(2-{\sin }^2\theta )=\frac{\pi {\alpha }^2{\hslash }^2}{m_e^2{c}^2}(1+{\cos }^2\theta )=\pi {\alpha }^2{\lambda }_e^2(1+{\cos }^2\theta )$

dove ${\lambda }_e=\hslash /(m_e{c}^2)$ è la lunghezza Compton dell'elettrone.

Bibliografia

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Voci correlate

• Scattering Compton
• Scattering Thomson