Costruzione di Poinsot

La costruzione di Poinsot, dal nome del matematico e fisico francese Louis Poinsot, è un metodo geometrico per descrivere la dinamica rotazionale di un corpo rigido in assenza di momenti esterni. Tale costruzione evidenzia l'analogia tra la rotazione fisica del corpo in esame e quella di un ellissoide che rotola senza strisciare su una superficie tangente.

L'ellissoide di Poinsot

L'ellissoide d'inerzia di un corpo rigido può essere scritto attraverso la forma quadratica

$𝐱\overline{I}𝐱$

dove $\overline{I}$ è il tensore d'inerzia del corpo.

Si consideri ora un piano $\pi$ tangente all'ellissoide.

L'energia cinetica rotazionale, anch'essa conservata, può essere invece scritta nella seguente maniera:

$2E=\mathrm{\Omega }I\mathrm{\Omega }$

dove $\mathrm{\Omega }$ è la velocità angolare di rotazione del corpo.

Confrontando le due espressioni, si ottiene

$𝐱=\frac{\mathrm{\Omega }}{\sqrt{2E}}$

Inoltre, $\pi$ è ortogonale al vettore momento angolare del corpo. Infatti

$\mathrm{\nabla }(𝐱I𝐱)=2I𝐱=\frac{2\overline{𝐈}\mathrm{\Omega }}{\sqrt{2E}}=\frac{\sqrt{2}𝐋}{\sqrt{E}}$

dove si è fatto uso della ben nota relazione $𝐋=\overline{I}\mathrm{\Omega }$.

Dunque, essendo il gradiente dell'ellissoide normale al piano tangente nel punto $𝐱$ e parallelo al momento angolare, segue che $𝐋$ è ortogonale a $\pi$.

Ora, la distanza $h$ del centro di massa dal piano tangente è uguale alla proiezione della distanza tra il centro e il punto di tangenza lungo il vettore momento angolare ed è quindi data dal prodotto scalare

$h=𝐱\cdot \widehat{𝐋}=\frac{\mathrm{\Omega }\cdot 𝐋}{L\sqrt{2E}}=\frac{2𝐋}{\sqrt{2E}}$

In virtù della conservazione dell'energia e del momento angolare, tale quantità rimane costante durante il moto, quando il piano $\pi$ è fisso.

Infine, il punto di tangenza si trova sull'asse di rotazione, quindi ha velocità nulla. Pertanto l'ellissoide rotola senza strisciare.

Le curve descritte dal punto di tangenza sull'ellissoide e sul piano possono essere utilizzate per parametrizzare la dinamica del corpo rigido. In particolare, il moto può essere descritto da due coordinate curvilinee associate a tali traiettorie.

Il moto è periodico se l'angolo descritto dal punto di tangenza sul piano nel tempo necessario a compiere un intero giro dell'ellissoide è commensurabile con $2\pi$

Costruzione dell'ellissoide

Consideriamo un punto $O$ qualsiasi all'interno di un corpo rigido e assumiamo un sistema di riferimento con tre assi ($x,y,z$) in $O$, solidali al corpo.

Il versore $\widehat{𝐮}$ dell'asse di rotazione si ottiene

$\widehat{𝐮}=\alpha \widehat{𝐢}+\beta \widehat{𝐣}+\gamma \widehat{𝐤}$

dove $\alpha ,\beta ,\gamma$ sono i coseni direttori dell'asse.

Prendiamo un punto ${𝐏}_{𝐢}$ del corpo distante $|{𝐫}_{𝐢}|$ da $O$

$𝐎{𝐏}_{𝐢}={𝐫}_{𝐢}=x_i\widehat{𝐢}+y_i\widehat{𝐣}+z_i\widehat{𝐤}$

e consideriamo la sua distanza $R_i$ dall'asse di rotazione

$R_i=|\widehat{𝐮}\times {𝐫}_{𝐢}|=(\beta z_i-\gamma y_i)\widehat{𝐢}+(\gamma x_i-\alpha z_i)\widehat{𝐣}+(\alpha y_i-\beta x_i)\widehat{𝐤}$

Allora il momento di inerzia $I$ del corpo rispetto all'asse di rotazione sarà

$I=\sum _{i=1}^n{m}_i{R_i}^2=\sum _{i=1}^n{m}_i(\widehat{𝐮}\times {𝐫}_{𝐢}{)}^2$

$I=I_x{\alpha }^2+I_y{\beta }^2+I_z{\gamma }^2-2I_{xy}\alpha \beta -2I_{yz}\beta \gamma -2I_{zx}\gamma \alpha$

dove

$I_x=\sum _{n=1}^n{m}_i(y_i^2+z_i^2)$

;

$I_y=\sum _{n=1}^n{m}_i(x_i^2+z_i^2)$

;

$I_z=\sum _{n=1}^n{m}_i(x_i^2+y_i^2)$

sono, rispettivamente, i momenti di inerzia rispetto all'asse $x$ , $y$ e $z$; mentre

$I_{xy}=\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i{y}_i$

;

$I_{yz}=\sum _{i=1}^n{m}_i{y}_i{z}_i$

;

$I_{zx}=\sum _{i=1}^n{m}_i{z}_i{x}_i$

vengono detti prodotti di inerzia.

Adesso consideriamo la distanza $d=\frac{1}{\sqrt{I}}$ sull'asse di rotazione, le coordinate saranno date da

$x=\frac{\alpha }{\sqrt{I}}$

;

$y=\frac{\beta }{\sqrt{I}}$

;

$z=\frac{\gamma }{\sqrt{I}}$

Andando a sostituire le coordinate nel momento di inerzia otteniamo come risultato finale

$I_x{x}^2+I_y{y}^2+I_z{z}^2-2I_{xy}xy-2I_{yz}yz-2I_{zx}zx=1$

che corrisponde a un ellissoide nello spazio, con centro nel punto $O$.

Grazie a questo ellissoide è possibile calcolare il momento di inerzia di un qualsiasi asse di rotazione rispetto a un punto $O$ del corpo, indipendentemente dalla forma o dalla distribuzione della massa. Prendendo la retta di un asse di rotazione passante per $O$ e calcolando la distanza da $O$ all'intersezione con la conica otteniamo $\frac{1}{\sqrt{\overline{I}}}$, dove $\overline{I}$ sarà proprio il momento di inerzia per quell'asse.

Bibliografia

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Voci correlate

• Corpo rigido
• Equazioni di Eulero (dinamica del corpo rigido)
• Ellissoide d'inerzia
• Teorema della racchetta da tennis

Collegamenti esterni

[1] Un simulatore 3d della dinamica del corpo rigido. È possibile visualizzare l'ellissoide di Poinsot con le relative traiettorie.