Visualizza wikitesto di Zero-insieme

In [[matematica]], uno '''zero-insieme''' di una [[funzione (matematica)|funzione]] è l'[[insieme]] formato dai punti in cui la funzione assume valore nullo. Più precisamente, data una funzione <math>f: X \rightarrow G</math>, dove <math>G</math> è un [[gruppo (matematica)|gruppo]] additivo, lo zero insieme di <math>f</math> è la [[controimmagine]] dell'[[elemento neutro]]:

: <math>Z(f) = f^{-1}(0) \subseteq X</math>

I punti dello zero insieme corrispondono alle [[radice (matematica)|radici]] dell'[[equazione]] <math>f(x) = 0</math>; l'[[insieme complemento|insieme complementare]] di uno zero insieme è detto '''cozero-insieme''', e corrisponde ai punti in cui la funzione assume valore non nullo. Gli zero insiemi sono utilizzati in molti settori della geometria e della topologia; a seconda dell'ambito di applicazione, vengono considerati in relazione a diversi tipi di funzione.

Solitamente l'insieme zero di una [[trasformazione lineare]] è detto [[Nucleo (matematica)|nucleo]].

==Topologia==
In [[topologia]] vengono considerati gli zero insiemi delle [[funzione continua|funzioni continue]], che possiedono alcune importanti caratteristiche: in particolare, gli zero insiemi sono sempre [[insieme chiuso|insiemi chiusi]], mentre in generale non vale il viceversa; tramite gli zero insiemi è possibile caratterizzare i seguenti [[assioma di separazione|assiomi di separazione]]:

* uno [[spazio topologico]] <math>X</math> è [[spazio completamente regolare|completamente regolare]] se e solo se ogni suo insieme chiuso è l'intersezione di una famiglia di zero insiemi ovvero se e solo se i cozero insiemi formano una [[base (topologia)|base]] di <math>X</math>;
* uno spazio topologico <math>X</math> è [[spazio completamente normale|completamente normale]] se e solo se ogni insieme chiuso è uno zero insieme, ovvero se e solo se ogni insieme aperto è un cozero insieme.

==Geometria differenziale==
In [[geometria differenziale]] si considerano gli zero insiemi di [[funzione liscia|funzioni lisce]] <math>f: \R^p \to \R^n</math>; se zero non è un [[punto critico (matematica)|punto critico]] della funzione, allora lo zero insieme di <math>f</math> definisce una [[varietà (geometria)|varietà]] di dimensione <math>n - p</math>.

==Geometria algebrica==
In [[geometria algebrica]], lo zero insieme di una famiglia di [[polinomio|polinomi]] è una [[varietà affine]], mentre la [[spazio proiettivo|proiettivizzazione]] degli zero insiemi di una famiglia di [[polinomio omogeneo|polinomi omogenei]] è una [[varietà proiettiva]].

==Bibliografia==
* {{en}}Krantz, S. G. ''Handbook of Complex Variables''. Boston, MA: Birkhäuser, p.&nbsp;268, 1999.

==Voci correlate==
* [[Controimmagine]] 
* [[Elemento neutro]]
* [[Nucleo (matematica)]]
* [[Zero]]

==Collegamenti esterni==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{cita web | 1 = http://www.unito.it/unitoWAR/ShowBinary/FSRepo/D005/Allegati/quadernididattici/topologia.pdf | 2 = P. M. Gandini, S. Bianco - Appunti di topologia | accesso = 19 ottobre 2014 | dataarchivio = 19 ottobre 2014 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20141019124100/http://www.unito.it/unitoWAR/ShowBinary/FSRepo/D005/Allegati/quadernididattici/topologia.pdf | urlmorto = sì }}
* {{cita web|http://www.mat.uniroma3.it/didattica_interattiva/aa_11_12/am310/9.Haar.pdf|Filippo Maria Bonci, Giovanni Mecozzi - Misure invarianti su gruppi topologici localmente compatti: esistenza e unicità della misura di Haar}}

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[[Categoria:Geometria differenziale]]
[[Categoria:Geometria algebrica]]
[[Categoria:Topologia]]