Visualizza wikitesto di V di Cramer

{{F|matematica|gennaio 2020}}
In [[statistica]], la '''V di Cramer''' è un indice utilizzato per misurare il grado di associazione tra due [[variabile nominale|variabili nominali]] il cui il risultato è un valore reale nell'intervallo <math>[0,1].</math> Si basa sul [[Test chi quadrato di Pearson|test del chi quadrato]] ed è stata pubblicata da [[Harald Cramér]] nel 1946<ref>Cramér, Harald.  1946. ''Mathematical Methods of Statistics''. Princeton: Princeton University Press, page 282 (Chapter 21. The two-dimensional case). {{ISBN|0-691-08004-6}} ([http://press.princeton.edu/TOCs/c391.html table of content] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160816102234/http://press.princeton.edu/TOCs/c391.html |date=2016-08-16 }})</ref>.

La V di Cramer, nel caso di una [[tabella di contingenza]] <math>k\times r,</math> viene calcolata utilizzando la seguente formula:

:<math>V =  \sqrt{ \frac{\chi^2}{\min(k - 1,r-1)n}},</math>

dove:
* <math>\chi^2</math> è il chi quadrato;
* <math>n</math> è il numero totale di osservazioni;
* <math>k</math> è il numero di colonne;
* <math>r</math> è il numero di righe.

Più il valore della V di Cramer è elevato, maggiore è la forza dell'associazione tra le variabili. In ragione di ciò, essa viene utilizzata come un indice di valutazione della [[dimensione dell'effetto]] (''effect size'') affiancandosi in modo complementare, quindi, all'esito ottenuto tramite il [[test chi quadrato di Pearson]] in quanto quest'ultimo, in caso di non accettazione dell'ipotesi nulla, non è in grado di fornire alcun esito relativo alla forza dell'associazione. Poiché la statistica del chi quadrato è sensibile all'ampiezza campionaria, infatti, è possibile ottenere valori di chi quadrato molto elevati, nel caso di un elevato numero di osservazioni, a fronte di una dimensione dell'effetto assai bassa.<br />
Un valore della V di Cramer pari a zero indica una totale mancanza di associazione mentre, al contrario, un valore di 1 indica un'associazione completa. {{senza fonte|Orientativamente, si può dire che se se il valore ottenuto della V di Cramer è compreso tra 0 e 0,3 si ha una bassa associazione, da 0,3 a 0,6 si ha una buona associazione, da 0,6 a 1 si ha un'ottima associazione. Tali valori sono, tuttavia, sono da considerarsi indicativi in quanto soggetti a variazione in base al contesto ed alla disciplina d'utilizzo}}.

La V di Cramer può, inoltre, essere calcolata anche per variabili che presentano più di due livelli.

Per tabelle <math>2\times 2,</math> la V di Cramer è equivalente al [[valore assoluto]] del [[coefficiente phi]] (indicato anche come <math>\phi</math>, <math>\varphi</math> o '''r<sub>φ</sub>'''). Il coefficiente phi viene, infatti, calcolato come:

:<math>|\phi| = \sqrt{\frac{\chi^2}{n}}.</math>

Per la formula della V di Cramer vale, quindi, la seguente uguaglianza:

:<math>V = \sqrt{\frac{\phi^2}{\min(k - 1,r-1)}} = \sqrt{ \frac{\chi^2/n}{\min(k - 1,r-1)}}.</math>

==Correzione==
Lo [[stimatore]] della V di Cramer utilizzato può essere soggetto a [[Bias (statistica)|distorsione]] per cui, nel 2012, è stata proposta una correzione da Wicher Bergsma<ref name=bergsma13>{{Cita pubblicazione|cognome=Bergsma |nome=Wicher |titolo=A bias correction for Cramér's V and Tschuprow's T |rivista=Journal of the Korean Statistical Society |volume=42 |anno=2013 |numero=3 |pp=323-328 |doi=10.1016/j.jkss.2012.10.002 }}</ref>.

Sotto l'ipotesi di indipendenza, vale la seguente relazione:

:<math>E[\phi^2]=\frac{(k-1)(r-1)}{n-1}.</math>

Di conseguenza, venne inizialmente proposta da [[Aleksandr Aleksandrovič Čuprov|Čuprov]] la correzione:

:<math>\tilde\phi^2 =\phi^2 -\frac{(k-1)(r-1)}{n-1}.</math>

Tale correzione, tuttavia, presenta un problema in quanto <math>\tilde\phi^2</math> può assumere un valore negativo, per cui è stata proposta la nuova correzione:

:<math> \tilde\phi^2 = \max\left(0,\phi^2 - \frac{(k-1)(r-1)}{n-1}\right).</math>

Questo tipo di correzione, però, fa sì che la [[radice quadrata]] dell'errore quadratico medio sia diversa da zero quando vi sia completa dipendenza, per cui è stata proposta la seguente formula finale:

:<math>\tilde V = \sqrt{\frac{\tilde\phi^2}{\min(\tilde k - 1,\tilde r - 1)}},</math>

con

:<math>\tilde k = k - \frac{(k-1)^2}{n-1},</math>
:<math>\tilde r = r - \frac{(r-1)^2}{n-1}.</math>

==Software==
Nell'ambiente statistico [[R (software)|R]], è possibile calcolare la V di Cramer tramite le seguenti funzioni: 
# <code>cramerV()</code> presente nella libreria <code>rcompanion</code><ref>{{Cita web|url=https://CRAN.R-project.org/package=rcompanion |titolo=Rcompanion: Functions to Support Extension Education Program Evaluation|data=16 gennaio 2022}}</ref>; 
# <code>cramersV()</code> acclusa alla libreria <code>lsr</code><ref>{{Cita web|url=https://CRAN.R-project.org/package=lsr |titolo=Lsr: Companion to "Learning Statistics with R"|data=16 gennaio 2022}}</ref>.
# <code>assocstats()</code> presente nella libreria <code>vcd</code><ref>{{Cita web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/vcd/index.html|titolo=vcd: Visualizing Categorical Data|data=18 gennaio 2022}}</ref>; 
# <code>cramer.v()</code> acclusa alla libreria <code>questionr</code><ref>{{Cita web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/questionr/index.html|titolo=questionr: Functions to Make Surveys Processing Easier|data=18 gennaio 2022}}</ref>;

''[[VassarStat]]'': Sezione on-line in grado di calcolare il Test del Chi Quadrato e la V di Cramer da tabelle di contingenza fino ad un massimo di ''5X5''.<ref>[http://vassarstats.net/newcs.html Contingency Table]</ref>

''Free Math Help Resources'': Sezione on-line in grado di calcolare la V di Cramer da tabelle di contingenza.<ref>[https://mathcracker.com/cramers-v-calculator.php Cramer's V Calculator - MathCracker.com]</ref>

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==

* [https://rcompanion.org/handbook/H_10.html Measures of Association for Nominal Variables]

{{Portale|statistica}}
[[Categoria:Test statistici]]