Visualizza wikitesto di Unità di misura di Planck

{{organizzare|Voce ipertrofica (155 kB), come suggerito [[Discussioni progetto:Astronomia/Archivio 24#Enciclopedicità dei "periodi luce"|qui]], l'enorme tabella sulle derivate potrebbe essere trasferita in una voce a sé, sono 45 kB solo quella, anche perché esistono diversi abbozzi in voci a sé stanti, basterebbe un veloce riassunto in questa pagina.|scienza|dicembre 2022}}
Nella [[fisica delle particelle]] e nella [[Cosmologia (astronomia)|cosmologia]], le '''unità di Planck''' sono un insieme di [[unità di misura]] definite esclusivamente in termini di cinque [[Costante fisica|costanti fisiche]] universali, in modo tale che queste cinque costanti fisiche assumano il valore numerico di [[1 (numero)|1]] quando espresse in termini di queste unità.

Originariamente proposte nel 1899 dal fisico tedesco [[Max Planck]], queste unità sono anche conosciute come [[unità naturali]] perché l'origine della loro definizione deriva solo da proprietà della [[natura]] e non da alcun costrutto umano, come ad esempio l'[[intensità luminosa]] (misurata in [[Candela (unità di misura)|candele]]), il [[flusso luminoso]] (misurato in [[lumen]]), e la [[dose equivalente]] (misurata in [[Sievert]]), né derivano da qualsiasi proprietà della [[terra]] o [[Universo|dell'universo]] (come per esempio accade per l'[[accelerazione di gravità]], l'[[Atmosfera (unità di misura)|atmosfera standard]] o la [[Legge di Hubble|costante di Hubble]]), né da qualsiasi caratteristica di una data sostanza (come il [[punto di fusione]] dell'[[acqua]], la [[densità]] dell'acqua o la [[Calore specifico|capacità termica specifica]] dell'acqua). Le unità di Planck sono solo un insieme di più sistemi di unità naturali, ma non si basano sulle proprietà di alcun [[Prototipo|oggetto prototipo]] o [[Particella elementare|particella]] che sarebbe scelta arbitrariamente (come la [[carica elementare]], la [[massa a riposo dell'elettrone]] o la massa a riposo del [[protone]]), ma piuttosto si basano sulle proprietà dello [[Vuoto (fisica)|spazio libero]]: difatti la velocità di Planck è la [[velocità della luce]], il momento angolare di Planck è la [[Costante di Planck|costante ridotta di Planck]], la resistenza di Planck è l'[[Impedenza caratteristica del vuoto|impedenza di spazio libero]], l'entropia di Planck è la [[costante di Boltzmann]], tutte sono proprietà dello spazio libero. Le unità di Planck hanno un significato rilevante per la fisica teorica poiché semplificano diverse espressioni algebriche mediante la cosiddetta ''non dimensionalizzazione''. Sono altresì rilevanti nella ricerca su teorie unificate come la [[gravità quantistica]].

Il termine ''scala di Planck'' si riferisce alle magnitudini di spazio, tempo, [[energia]] e altre unità, al di sotto delle quali (od oltre le quali) le previsioni del [[Modello standard]], la [[teoria quantistica dei campi]] e la [[relatività generale]] non sono più riconciliabili, e si prevedono dominare gli [[Gravità quantistica|effetti quantistici della gravità]]. Questa regione può essere caratterizzata da energie tra i <math>5.52 \times 10^{8}\,\mathrm{J}</math> e i <math>1.96 \times 10^9\,\mathrm{J}</math> (chiamate appunto [[Energia di Planck|energie di Planck]]), intervalli di [[tempo]] tra i <math>1.91 \times 10^{-43}s</math> e i <math>5.39 \times 10^{-44}s</math> (chiamati [[Tempo di Planck|tempi di Planck]]) e [[Lunghezza|lunghezze]] tra i <math>5.73 \times 10^{-35}m</math> e i <math>1.62 \times 10^{-35}m</math> (chiamate [[Lunghezza di Planck|lunghezze di Planck]]). Su scala Planck, non ci si aspetta che i modelli attuali siano una guida utile al cosmo, e i fisici non hanno un [[Teoria#Modelli|modello scientifico]] per suggerire come si comporta l'universo fisico. L'esempio più noto è rappresentato dalle condizioni nei primi <math>10^{-43}</math> secondi [[Storia dell'universo|del nostro universo]] dopo il [[Big Bang]], circa 13,8 miliardi di anni fa. Nel nuovo [[Committee on Data for Science and Technology|2019 CODATA]] da [[Committee on Data for Science and Technology|NIST]] si prevede di usare le unità di Planck come future unità in sostituzione delle unità attuali internazionali di riferimento.

Esistono due versioni delle unità di Planck, la '''versione di Lorentz&nbsp;–&nbsp;[[Oliver Heaviside|Heaviside]]''' (chiamata anche ''razionalizzata'') e la '''versione gaussiana''' (chiamata anche ''non razionalizzata'').

Le costanti universali che le unità di Planck, per definizione, normalizzano a <math>1</math> sono:
* la velocità della luce nel vuoto, <math>c</math>, (nota anche come '''velocità di Planck''')
* la [[Costante di gravitazione universale|costante gravitazionale]], <math>G</math>
** <math>G</math> per la versione gaussiana, <math>4 \pi G</math> per la versione Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside
* la costante ridotta di Planck, <math>\hbar</math>, (nota anche come '''azione di Planck''')
* la [[Costante dielettrica del vuoto|permittività del vuoto]], <math>\varepsilon_0</math> (nota anche come '''permittività di Planck''')
**<math>\varepsilon_0</math> per la versione Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside, <math>4 \pi \varepsilon_0</math> per la versione gaussiana
* la costante di Boltzmann, <math>k_{\text{B}}</math> (nota anche come '''capacità termica di Planck''').

Ciascuna di queste costanti può essere associata a una teoria o concetto fisico fondamentale:
* <math>c</math> con la [[Relatività ristretta|relatività speciale]],
* <math>G</math> con la [[relatività generale]],
* <math>\hbar</math> con la [[meccanica quantistica]],
* <math>\varepsilon_0</math> con l'[[elettromagnetismo]],
* <math>k_{\text{B}}</math> con le nozioni dell'[[entropia]], della [[meccanica statistica]] e della [[termodinamica]].

== Introduzione ==
A qualsiasi sistema di misura può essere assegnato un insieme reciprocamente indipendente di quantità di base e unità di misura di base associate, da cui possono derivare tutte le altre quantità e unità. Nel [[Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]], ad esempio, le quantità di base includono la lunghezza con l'unità associata del [[metro]]. Nel sistema di unità di Planck, è possibile selezionare un insieme simile di quantità di base e l'unità di base Planck per la lunghezza è quindi nota semplicemente come lunghezza di Planck, l'unità di base del tempo è il tempo di Planck, e così via. Queste unità sono derivate dalle costanti fisiche universali a cinque dimensioni della Tabella 1, in modo tale che queste costanti vengano eliminate dalle equazioni fondamentali delle leggi della fisica quando le quantità fisiche sono espresse in termini di unità di Planck. Ad esempio, la [[legge di gravitazione universale]] di Newton

:<math> \begin{align}
 F &= G \frac{m_1 m_2}{r^2} \\
  &= \left( \frac{F_\text{P} l_\text{P}^2}{m_\text{P}^2} \right) \frac{m_1 m_2}{r^2}\end{align}</math>

può essere espressa come:

<math> \frac{F}{F_\text{P}} = \frac{\left(\dfrac{m_1}{m_\text{P}}\right) \left(\dfrac{m_2}{m_\text{P}}\right)}{\left(\dfrac{r}{l_\text{P}}\right)^2}.</math>

Entrambe le equazioni sono [[Analisi dimensionale|dimensionalmente coerenti]] e ugualmente valide in ''qualsiasi'' sistema di unità, ma la seconda equazione, con <math>G</math> mancante, riguarda solo le [[gruppo adimensionale|quantità senza dimensioni]] poiché qualsiasi rapporto tra due quantità con dimensioni simili è una grandezza adimensionale. Se si intende che ogni grandezza fisica è il rapporto corrispondente ad una coerente unità di Planck (o "espresso in unità di Planck"), i rapporti di cui sopra possono essere espressi semplicemente con i simboli della grandezza fisica, senza essere scalati esplicitamente dalla loro unità corrispondente:

<math> F = \frac{m_1 m_2}{r^2} \ .</math>

Quest'ultima equazione (senza <math>G</math>) è valida solo se <math>F</math>, <math>m_1</math>, <math>m_2</math> e <math>r</math> sono valori numerici senza dimensioni delle stesse grandezze fisiche misurate in termini di unità di Planck. Questo è il motivo per cui le unità di Planck o qualsiasi altro uso di unità naturali devono essere impiegate con attenzione. Riferendosi a <math>G=c=1</math>, Paul S. Wesson scrisse che:<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Wesson|nome=P. S.|anno=1980|titolo=The application of dimensional analysis to cosmology|rivista=Space Science Reviews|volume=27|numero=2|p=117|doi=10.1007/bf00212237|bibcode=1980SSRv...27..109W}}</ref>

{{Citazione|Matematicamente è un trucco accettabile che salva il lavoro. Fisicamente rappresenta una perdita di informazioni e può creare confusione.}}

== Definizione ==
In fisica, le '''unità di misura di Planck''' sono un particolare sistema di [[unità naturali]], in cui cinque costanti hanno valore unitario:

{| class="wikitable"
|+Tabella 1: Unità universali dal 2018 CODATA normalizzate alle unità di Planck
|-
! Costante
! Simbolo
! Dimensioni fisiche
! Valore
!Teorie associate
|-
|Velocità della luce nel vuoto
|<math>c </math>
|<math>\left [ L \right ] \left [ T \right ]^{-1}</math>
|<math>299792458\;\frac{m}{s}</math><ref name=":0">{{Cita web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?c|titolo=CODATA Value: speed of light in vacuum|sito=physics.nist.gov|accesso=28 maggio 2019}}</ref>''<small>(esatta per definizione)</small>''
|[[Interazione elettromagnetica|Elettromagnetismo]]
Relatività ristretta
|-
|Costante gravitazionale
|<math>G </math>
|<math>\left [ M \right ]^{-1} \left [ L \right ]^3 \left [ T \right ]^{-2}</math>
|<math>6,67430(15) \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg\;s^2}</math><ref>{{Cita web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bg|titolo=CODATA Value: Newtonian constant of gravitation|sito=physics.nist.gov|accesso=28 maggio 2019}}</ref>
|[[Relatività generale]]
[[Interazione gravitazionale|Gravità newtoniana]]
|-
|[[Costante di Planck ridotta]]
|<math>\hbar=\frac{h}{2 \pi}</math> dove <math>h </math> è la costante di Planck
|<math>\left [ M \right ] \left [ L \right ]^2 \left [ T \right ]^{-1}</math>
|<math>1,054571817 \ldots \cdot 10^{-34}\;\mathrm{J}s</math><ref>{{Cita web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?hbar|titolo=CODATA Value: reduced Planck constant|sito=physics.nist.gov|accesso=28 maggio 2019}}</ref>''<small>(esatta per definizione da</small>'' <small>h = 6,626&nbsp;070 15 × 10<sup>−34</sup> J⋅s'')''</small>
|[[Meccanica quantistica]]
|-
|Costante della [[forza di Coulomb]]
|<math> \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} </math> dove <math>\varepsilon_0 </math> è la costante dielettrica nel vuoto
|<math>\left [ M \right ] \left [ L \right ]^3 \left [ T \right ]^{-2} \left [ Q \right ]^{-2}</math>
|<math>8,9875517923(14) \cdot 10^9\;\frac{kg\cdot m^3}{s^4\cdot \mathrm{A}^2}</math><ref>{{Cita web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ep0|titolo=CODATA Value: vacuum electric permittivity|sito=physics.nist.gov|accesso=28 maggio 2019|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20200509102043/https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ep0|urlmorto=sì}}</ref>
|[[Elettrostatica]]
|-
|Costante di Boltzmann
|<math>k_{\text{B}} </math>
|<math>\left [ M \right ] \left [ L \right ]^2 \left [ T \right ]^{-2} \left [ \Theta \right ]^{-1}</math>
|<math>1,380649 \cdot 10^{-23}\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math><ref>{{cita testo|url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?k|titolo=CODATA Value: Boltzmann constant<!-- Titolo generato automaticamente -->}}</ref>''<small>(esatta per definizione)</small>''
|[[Termodinamica]]
[[Meccanica statistica]]
|-
|[[Irraggiamento|Località di Planck, seconda costante di radiazione]]
|<math> C_2 =  \frac{hc}{k_{\text{B}}} </math>
|<math>\left [ L \right ] \left [ \Theta \right ]</math>
|<math>0,01438777\;m \cdot \mathrm{K}</math>
|[[Termodinamica]]
[[Meccanica statistica]]

[[Interazione elettromagnetica|Elettromagnetismo]]
|-
|[[Costante di Stefan-Boltzmann]]
|<math>\sigma = \frac{{{\pi}^{2}{k}_{\text{B}}^{4}}}{60{\hbar}^{3}{c}^2} = \frac{{{2\pi}^{5}{k}_{\text{B}}^{4}}}{15{h}^{3}{c}^2}</math>
|<math>\left [ M \right ] \left [ T \right ]^{-3} \left [ \Theta \right ]^{-4}</math>
|<math>5,67037441 \ldots \cdot 10^{-8}\;\frac{\mathrm{W}}{m^2 \cdot \mathrm{K^4}}</math>
|[[Termodinamica]]
[[Interazione elettromagnetica|Elettromagnetismo]]
|-
|Carica elementare
|<math>e = q_e </math>
|<math>\left [ Q \right ]</math>
|<math>1,602176634 \cdot 10^{-19}\; \mathrm{C}</math>
''<small>(esatta per definizione)</small>''
|[[Interazione elettromagnetica|Elettrostatica]]
|-
|[[Costante di struttura fine]] o costante di Sommerfeld
|<math>{\alpha} = { \alpha_e } = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c } </math>
|[[Numero adimensionale]]
|<math>0,0072973525693(11)</math>
<math>\frac{1}{137,035999084(21)}</math>
|[[Interazione elettromagnetica|Elettromagnetismo]]
[[Atomo|Teoria Atomica]]
|}

'''Nota''': <math>\mathrm{L}</math> = lunghezza, <math>\mathrm{M}</math> = [[Massa (fisica)|massa]], <math>\mathrm{T}</math> = [[tempo]], <math>\mathrm{Q}</math> = [[Carica elettrica|carica]], <math>\Theta</math> = [[temperatura]].

Le unità naturali possono aiutare i fisici a rispondere alcune domande. [[Frank Wilczek]] probabilmente ha fatto l'osservazione più acuta:

{{Citazione
|…Vediamo che la domanda [posta] non è "Perché la gravità è così debole?" ma piuttosto "Perché la massa del protone è così piccola?". Per le unità di Planck, l'intensità della gravità è semplicemente quella che è, una quantità primaria, mentre la massa del protone è un numero molto piccolo…<ref>{{cita testo|url=http://www.physicstoday.org/pt/vol-54/iss-6/p12.html|titolo=giugno 2001 da "Physics Today"|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20051216094603/http://www.physicstoday.org/pt/vol-54/iss-6/p12.html }}</ref>
| [[Physics Today]], giugno [[2001]]
}}

L'intensità della gravità è semplicemente quella che è, così come l'intensità della forza elettromagnetica è semplicemente quella che è. La forza elettromagnetica opera in base alla carica elettrica, diversamente dalla gravità, che opera in base alla massa, così che non sia possibile una diretta comparazione tra le due: è da notare, infatti, come la gravità sia una [[Interazioni fondamentali|forza estremamente debole]] rispetto alla forza elettromagnetica; dal punto di vista delle unità naturali, sarebbe come paragonare le mele con le arance perché la massa e la carica sono grandezze incommensurabili. Vero è che la forza elettrostatica repulsiva tra due protoni che si trovino in uno spazio vuoto surclassa la forza di attrazione gravitazionale tra gli stessi, ma la disparità di intensità delle due forze è una manifestazione del fatto che la carica dei protoni è approssimativamente la carica unitaria, mentre la massa dei protoni è molto inferiore alla massa unitaria.

Le unità di Planck hanno il vantaggio di semplificare molte equazioni fisiche, rimuovendo i fattori di conversione, per questo motivo sono molto usate nella [[Meccanica quantistica|teoria dei quanti]].

Risolvendo le cinque equazioni precedenti per le cinque incognite si ottiene un insieme unico di valori per le cinque unità di Planck di base:

== Unità di Planck fondamentali ==
{| class="wikitable"
|+Tabella 2: Unità di Planck dal 2018 CODATA
|-
! align="left" | Dimensione
! align="left" | Formula
![[Oliver Heaviside|versione di Lorentz–Heaviside]]<ref>{{Cita web|url=http://dbserv.ihep.su/~pubs/tconf99/ps/tomil.pdf|titolo=Wayback Machine|data=17 giugno 2006|accesso=22 marzo 2020|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20080309142834/http://dbserv.ihep.su/~pubs/tconf99/ps/tomil.pdf|urlmorto=sì}}</ref><ref>{{Cita web|url=https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node450.html|titolo=Rationalized Heaviside-Lorentz Units|sito=quantummechanics.ucsd.edu|accesso=22 marzo 2020}}</ref>
! align="left" |[[Carl Friedrich Gauss|Versione gaussiana]]<ref>{{Cita web|url=http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1112/notes/emunits.pdf|titolo=Gaussian, SI and Other Systems of Units in Electromagnetic|accesso=22 marzo 2020|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20151211021336/http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1112/notes/emunits.pdf|urlmorto=sì}}</ref><ref>{{Cita web|url=https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1506/1506.01951.pdf|titolo=Natural units- Babel of units}}</ref>
!Valore di [[Oliver Heaviside|Lorentz-Heaviside]]<ref>{{Cita web|url=http://parouse.com/php/SummaryGet.php?FindGo=Lorentz%E2%80%93Heaviside_units|titolo=Natural units Lorentz-Heaveside & Gaussian|urlmorto=sì}}</ref><ref>{{Cita web|url=https://mysite.du.edu/~jcalvert/phys/hlu.htm|titolo=Heaviside-Lorentz Units|sito=mysite.du.edu|accesso=22 marzo 2020}}</ref>
! align="left" | Valore nel [[Sistema internazionale di unità di misura|Sistema Internazionale]] gaussiano<ref>Valori presi da {{cita testo|url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Category?view=html&Universal.x=41&Universal.y=16|titolo=The NIST Reference}}</ref>
|-----
! [[Lunghezza di Planck]]
|Lunghezza <math>\left [ L \right ]</math>
|<math>l_\text{P} = \sqrt{\frac{4 \pi \hbar G}{c^3}}</math>
|<math>l_{\text{P}}= \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}</math>
|<math>5,729475 \cdot 10^{-35}\;m</math>
| <math>1,616255(18) \cdot 10^{-35}\;m</math>
|-----
! [[Massa di Planck]]
|Massa <math>\left [ M \right ]</math>
|<math>m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{4 \pi G}}</math>
|<math>m_{\text{P}}=\sqrt{\frac{\hbar c}{G}} </math>
|<math>6,139608 \cdot 10^{-9}\;kg</math>
| <math>2,176434(24) \cdot 10^{-8}\;kg</math>
|-----
! [[Tempo di Planck]]
| Tempo <math>\left [ T \right ]</math>
|<math>t_\text{P} = \sqrt{\frac{4 \pi \hbar G}{c^5}}</math>
|<math>t_{\text{P}}=\frac{l_{\text{P}}}{c}=\sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} </math>
|<math>1,911147 \cdot 10^{-43}\;s</math>
| <math>5,391247(60) \cdot 10^{-44}\,s</math>
|-----
! [[Carica di Planck]]
| Carica elettrica <math>\left [ Q \right ]</math>
|<math>q_\text{P} = \sqrt{\varepsilon_0\hbar c}</math>
|<math>q_{\text{P}} = \sqrt{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c} </math>
|<math>5,290818 \cdot 10^{-19}\; \mathrm{C}</math>
| <math>1,875545956(41) \cdot 10^{-18}\; \mathrm{C}</math>
|-----
! [[Temperatura di Planck]]
| Temperatura <math>\left [ \Theta \right ]</math>
|<math>\Theta_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{4 \pi G {k_\text{B}}^2}}</math>
|<math>{{\Theta}_{\text{P}}}=\frac{{{m}_{\text{P}}}{{c}^{2}}}{{{k}_{B}}}=\sqrt{\frac{\hbar {{c}^{5}}}{Gk_{\text{B}}^{2}}}</math>
|<math>3,996674 \cdot 10^{31}\; \mathrm{K}</math>
| <math>1,416784(16) \cdot 10^{32}\; \mathrm{K}</math>
|}

'''Nota''': <math>\mathrm{L}</math> = lunghezza, <math>\mathrm{M}</math> = massa, <math>\mathrm{T}</math> = tempo, <math>\mathrm{Q}</math> = carica, <math>\Theta</math> = temperatura.

Le tre costanti della fisica sono espresse in questo modo semplicemente, mediante l'uso delle unità fondamentali di Planck:

<math>c=\frac{l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}</math>

<math>\hbar=\frac{m_{\text{P}}l^2_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}</math>

<math>G = \frac{l^3_{\text{P}}}{m_{\text{P}}t^2_{\text{P}}}</math>

Nel 1899 Max Planck propose di partire dalle [[Costante fisica|costanti fondamentali]] (che sono: nella teoria della gravitazione, la costante di Newton <math>{ G } \ </math>; nell'elettrostatica la costante di Coulomb <math> \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} </math>; nell'elettromagnetismo e nella relatività la velocità della luce <math>{ c } \ </math>; nella termodinamica la costante di Boltzmann <math>k_\text{B} </math> e nella meccanica quantistica la costante di Planck ridotta <math>\hbar=\frac{h}{2 \pi}</math>) per definire le unità di misura di lunghezza, tempo, massa, carica e temperatura, invece di fare il contrario<ref>cioè definire le costanti fondamentali in funzione delle unità di lunghezza (metro, <math> \text{m} </math>), tempo ([[secondo]], <math>\text{s}</math>), massa (chilogrammo, <math>\text{Kg}</math>), carica (coulomb, <math>\text{C}</math>), temperatura (kelvin, <math>\text{K}</math>) ed energia (joule, <math>\text{J}</math>).</ref>. Ottenne un sistema di misura alternativo basato su «unità di Planck» in cui la costante di Newton è ''l'attrazione gravitazionale esercitata da due masse di Planck poste alla distanza di Planck'', la costante di Coulomb è ''l'attrazione elettrica esercitata da due cariche di Planck poste alla distanza di Planck'', la velocità della luce è ''la velocità di percorrenza della lunghezza di Planck nel tempo di Planck'', la costante di Boltzmann è ''l'energia termica della temperatura di Planck'' e la costante di Planck è ''l'energia della frequenza pari all'inverso del tempo di Planck''.
Planck fu molto soddisfatto della scoperta delle sue unità di misura perché «mantengono il loro significato in tutti i tempi e luoghi, e risultano sempre uguali anche se misurate dalle intelligenze più disparate», mentre le costanti universali assumono valori diversi a seconda del sistema di misura considerato (il [[Sistema internazionale di unità di misura|sistema internazionale di misura]] (SI), piuttosto che il [[sistema CGS]]). Le unità di Planck però portano con sé i limiti delle teorie attuali, nel senso che al di sotto delle lunghezze, dei tempi e delle cariche di Planck, o al di sopra delle masse e delle temperature di Planck, la fisica come la conosciamo perde di senso.
Quanto ai loro valori, il tempo di Planck è circa <math> \text{10}^{-43}</math> secondi, la lunghezza di Planck è <math> \text{10}^{20}</math> volte più piccola di un [[protone]], la massa di Planck è pari a <math> \text{10}^{19}</math> protoni e farebbe collassare un quanto in un buco nero, la [[carica di Planck]] è <math>\text{12}</math> volte maggiore di quella di un [[elettrone]] o un [[protone]], la [[temperatura di Planck]], infine, è di circa <math> \text{10}^{30}</math> gradi, e un corpo che la raggiungesse emetterebbe radiazioni aventi lunghezze d'onda pari alla lunghezza di Planck.<ref>modificato da ''Il matematico impertinente'' di Piergiorgio Odifreddi sul numero 553, settembre 2014, di [[Le Scienze]]</ref>

La tabella definisce chiaramente le unità di Planck in termini di costanti fondamentali. Tuttavia, rispetto ad altre unità di misura come quelle del sistema internazionale, i valori delle unità di Planck, diversi dalla carica Planck, sono conosciuti solo ''approssimativamente.'' Ciò è dovuto all'incertezza nel valore della costante gravitazionale <math>G</math> misurata rispetto alle definizioni del SI. Oggi il valore della velocità della luce <math>c</math> nelle unità SI non è soggetto a errori di misurazione, poiché l'unità base SI di lunghezza, il metro, è ora ''definita'' come la lunghezza del percorso dalla luce nel vuoto durante un intervallo di tempo di <math>\frac{1}{299792458}</math> di secondo. Quindi il valore di <math>c</math> è ora esatto per definizione e non contribuisce all'incertezza degli equivalenti SI delle unità di Planck. Lo stesso vale per il valore della permittività del vuoto <math>\varepsilon_0</math>, a causa della definizione di [[ampere]] che imposta la [[permeabilità magnetica]] del vuoto <math>\mu_0</math> a <math>4\pi \times 10^{-7} \frac{H}{m}</math>: infatti, poiché <math>\mu_0</math> e <math>c</math> sono ben definite, dalla relazione <math>\mu_0 \varepsilon_0= \frac{1}{c^2}</math> è possibile ricavare un valore di <math>\varepsilon_0</math> privo di incertezze. Il valore numerico della costante ridotta di Planck <math>\hbar</math> è stato determinato sperimentalmente a 12 parti per miliardo, mentre quello di <math>G</math> è stato determinato sperimentalmente a non migliore di 1 parte su {{M|21300}} (o {{M|47000|ul=parti per miliardo}}).<ref name="CODATA">{{Cita web|url=http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html|titolo=Fundamental Physical Constants from NIST|sito=physics.nist.gov}}</ref> <math>G</math> appare nella definizione di ''quasi'' tutte le unità di Planck nelle tabelle 2 e 3, ma non ''tutte''. Quindi l'incertezza nei valori degli equivalenti SI delle unità di Planck deriva quasi interamente dall'incertezza nel valore di <math>G</math>. (La propagazione dell'errore in <math>G</math> è una funzione dell'esponente di <math>G</math> nell'espressione algebrica per un'unità. Poiché tale esponente è <math>\pm \frac{1}{2}</math> per ogni unità base diversa dalla carica di Planck, l'incertezza relativa di ciascuna unità di base è circa la metà di quella di <math>G</math>. Questo è davvero il caso; secondo CODATA, i valori sperimentali degli equivalenti SI delle unità di Planck di base sono noti a circa 1 parte su {{M|43500}}, o {{M|23000}} parti per miliardo). Dopo il 20 maggio 2019, <math>h</math> (e quindi <math>\hbar=\frac{h}{2\pi}</math> ) è un valore di riferimento esatto, <math>k_\text{B}</math> è anch'essa esatta ma, poiché <math>G</math> non è ancora esatta, anche i valori di <math>\ell_{\text{P}}</math>, <math>m_{\text{P}}</math>, <math>t_{\text{P}}</math> e <math>\theta_{\text{P}}</math> non sono esatti. Inoltre, <math>\mu_0</math> (e quindi <math>\varepsilon_0=\frac{1}{c^2 \mu_0}</math>) non è più esatto (solo la carica <math>e</math> è esatta), quindi anche <math>q_\text{P}</math> non è esatto come precisione numerica.

== Unità di Planck derivate ==
{{Vedi anche|Unità di misura di Planck derivate}}
In qualsiasi sistema di misura, le unità per molte grandezze fisiche possono essere derivate da unità di base. La tabella 3 offre un campione di unità di Planck derivate, alcune delle quali in realtà sono usate raramente. Come per le unità di base, il loro uso è per lo più limitato alla [[fisica teorica]] perché la maggior parte di esse è troppo grande o troppo piccola per un uso empirico o pratico, e vi sono grandi incertezze nei loro valor

{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; background:#fff;"
|+ Table 3: Unità derivate delle unità di Planck
|-
 ! Unità derivata da
 ! Espressione
 ! Equivalente [[SI]]
|- style="text-align:left;"
 | [[area]] (L<sup>2</sup>)
 | <math> l_\text{P}^2 = \frac{\hbar G}{c^3}</math>
 | {{val|2.6121|e=-70|ul=m2}}
|- style="text-align:left;"
 | [[volume]] (L<sup>3</sup>)
 | <math> l_\text{P}^3 = \left( \frac{\hbar G}{c^3} \right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{(\hbar G)^3}{c^9}}</math>
 | {{val|4.2217|e=-105|ul=m3}}
|-
 | [[quantità di moto]] (LMT<sup>−1</sup>)
 | <math>m_\text{P} c = \frac{\hbar}{l_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} </math>
 | {{val|6.5249|u=[[Newton-second|kg⋅m/s]]}}
|-
 | [[energia]] (L<sup>2</sup>MT<sup>−2</sup>)
 | <math>E_\text{P} = m_\text{P} c^2 = \frac{\hbar}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} </math>
 | {{val|1.9561|e=9|ul=J}}
|-
 | [[forza]] (LMT<sup>−2</sup>)
 | <math>F_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{l_\text{P}} = \frac{\hbar}{l_\text{P} t_\text{P}} = \frac{c^4}{G} </math>
 | {{val|1.2103|e=44|ul=N}}
|-
 | [[densità]] (L<sup>−3</sup>M)
 | <math>\rho_\text{P} = \frac{m_\text{P}}{l_\text{P}^3} = \frac{\hbar t_\text{P}}{l_\text{P}^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2} </math>
 | {{val|5.1550|e=96|ul=kg/m3}}
|-
 | [[accelerazione]] (LT<sup>−2</sup>)
 | <math> a_\text{P} = \frac{c}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^7}{\hbar G}}</math>
 | {{val|5.5608|e=51|ul=m/s2}}
|}

Alcune unità di Planck, come quella di tempo o di lunghezza, sono molti ordini di grandezza maggiori o minori per essere d'uso pratico, e sono rilevanti solo nella fisica teorica. In alcuni casi, un'unità di Planc suggerisce un limite alla gamma di valori che una grandezza fisica può assumere nelle attuali teorie.<ref name=":1">{{Cita libro|cognome=Zee|nome=Anthony|titolo=Quantum Field Theory in a Nutshell|editore=Princeton University Press|anno=2010|isbn=978-0-691-14034-6|edizione=second|pp=[https://archive.org/details/isbn_9780691140346/page/172 172,434–435]|oclc=659549695|citazione=Just as in our discussion of the Fermi theory, the nonrenormalizability of quantum gravity tells us that at the Planck energy scale ... new physics must appear. Fermi's theory cried out, and the new physics turned out to be the electroweak theory. Einstein's theory is now crying out.|wkautore=Anthony Zee}}</ref> Per esempio, l'attuale comprensione del [[Big Bang]] si ferma all'epoca di Planck, corrispondente all'età dell'universo di un tempo di Planck. Descrivere l'universo durante l'epoca di Planck comporta una teoria di [[gravità quantistica]], che incorpori gli effetti quantistici nella relatività generale.

== Discussione ==
Nelle "scale di Planck" di lunghezza, tempo, densità o temperatura, si devono considerare sia gli effetti della [[meccanica quantistica]] che della [[relatività generale]], ma ciò richiede una teoria della [[gravità quantistica]] di cui ancora non conosciamo la forma.

La maggior parte delle unità sono o troppo piccole o troppo grandi per l'utilizzo pratico. Inoltre soffrono di incertezze nella misura di alcune delle costanti su cui sono basate, in particolare la costante gravitazionale <math>{G}</math> (che ha un'incertezza di 1 su 44000 parti).

La carica di Planck non fu originariamente definita da Planck. È una definizione di unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck, ed è utilizzata in alcune pubblicazioni<ref>''Teoria dello Spazio Quantizzato'' - Data registr. 21/9/1994 N. 344146 prot. 4646 c/o Presidenza del Consiglio dei Ministri - Dipart. Informazione ed Editoria.</ref><ref>{{cita testo|url=https://arxiv.org/abs/hep-th/0208093|titolo=Comment on time-variation of fundamental constants}}</ref><ref>{{cita testo|url=http://www.atlantedinumerielettere.it/energia2006/pdf/labor.pdf|titolo=Unificazione elettromagnetica concezione elettronica dello spazio dell'energia e della materia}}</ref>. È interessante notare che la carica elementare, misurata in termini della carica di Planck, risulta essere:
:<math>e = \sqrt{\alpha} \ q_P = 0{,}085\,424\,543\,1319(64) \ q_P \, </math>
dove <math> {\alpha} </math> è la costante di struttura fine<ref>{{Cita web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?alphinv|titolo=CODATA Value: inverse fine-structure constant|sito=physics.nist.gov|accesso=28 maggio 2019}}</ref>:
:<math> \alpha =\left ( \frac{e}{q_P} \right )^2 = \frac{e^2}{\hbar c 4 \pi \varepsilon_0} = \frac{1}{137{,}035\,999\,084(21)} </math>
Si può ritenere che la costante di struttura fine, adimensionale, possieda il proprio valore per via della quantità di carica, misurata in unità naturali (carica di Planck), che gli elettroni, i protoni e altre particelle cariche hanno in natura. Poiché la [[Interazione elettromagnetica|forza elettromagnetica]] tra due particelle è proporzionale alle cariche di ciascuna particella (che è proporzionale a <math>\sqrt{\alpha}</math>), la forza elettromagnetica relativamente alle altre forze è proporzionale a <math>{\alpha}</math>.

L'impedenza di Planck risulta essere l'[[impedenza]] caratteristica del vuoto, <math>Z_0</math>, divisa per <math>4 \pi</math>. Ciò avviene in quanto la costante della forza di Coulomb, <math>\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}</math>, è normalizzata a <math>1</math> nella legge di Coulomb, così come viene fatto nelle unità del sistema CGS, invece che porre a <math>1</math> la permittività del vuoto <math>\varepsilon_0 \ </math>. Tali considerazioni, insieme al fatto che la costante gravitazionale <math>G</math> è normalizzata a <math>1</math> (invece che <math>4 \pi G</math> o <math>8 \pi G</math> o <math>16 \pi G</math>), inducono a ritenerla una definizione arbitraria e forse non ottimale nella prospettiva di definire le ''unità più naturali della fisica'' come unità di Planck.

{{Citazione|Una convenzione sempre più comune nella letteratura di [[fisica delle particelle]] e [[Cosmologia (astronomia)|cosmologia]] è quella di usare 'unità di Planck ridotte' in cui  <math> 8 \pi G = 1</math> (così chiamato perché la massa di Planck è ridotta di <math>\sqrt{ 8 \pi }</math> in queste unità). Queste unità hanno il vantaggio di rimuovere un fattore  <math>8 \pi</math> dall'[[equazione di campo di Einstein]], [[azione di Einstein-Hilbert]], [[equazioni di Friedmann]] e l'[[equazione di Poisson]] per la gravitazione, a scapito di introdurne una nella legge di gravitazione universale. Un'altra convenzione che si vede occasionalmente è di impostare <math>16 \pi G = 1</math> , che fissa il coefficiente di <math>R</math> nell'azione di Einstein-Hilbert all'unità. Tuttavia, un'altra convenzione imposta <math> 4 \pi G = 1</math> in modo che le costanti dimensionali nella controparti gravitoelettromagnetica (GEM) delle [[equazioni di Maxwell]] vengano eliminate. Le equazioni GEM hanno la stessa forma delle equazioni di Maxwell (e dell'equazione della forza di Lorentz) dell'interazione elettromagnetica con massa (o densità di massa) che sostituisce carica (o densità di carica) e <math> 1/(4 \pi G) </math> sostituendo la permittività <math>\varepsilon_0 </math> e sono applicabili in campi gravitazionali deboli o spazio-tempo ragionevolmente piatto. Come le radiazioni elettromagnetiche, le radiazioni gravitazionali si propagano alla velocità di <math>c</math> e hanno [[impedenza caratteristica]] di spazio libero <math> Z_0 = \frac{4 \pi G}{c} </math> che diventa unitaria se le unità sono definite giudiziosamente in modo che <math> c = 1</math> e <math> 4 \pi G = 1</math>}}.

La carica, come le altre unità di Planck, non era originariamente definita da Planck. È un'unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck e viene utilizzata in alcune pubblicazioni.<ref>[Theory of Quantized Space – Date of registration 21/9/1994 N. 344146 protocol 4646 Presidency of the Council of Ministers – Italy – Dep. Information and Publishing, literary, artistic and scientific property]</ref><ref>{{Cita web|url=http://www.atlantecircuitale.com/energie2006/pdf/labor-ingl.pdf|titolo=Electromagnetic Unification Electronic Conception of the Space, the Energy and the Matter}}</ref> La carica elementare <math>e</math>, misurato in termini di unità di Planck, è
:<math>e = \sqrt{4\pi \alpha} \cdot q_{\text{P}} \approx 0.302822121 \cdot q_{\text{P}} \, </math> (Versione Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside)
:<math>e = \sqrt{\alpha} \cdot q_{\text{P}} \approx 0.085424543 \cdot q_{\text{P}} \, </math> (Versione gaussiana)
dove <math> {\alpha} </math> è la [[costante di struttura fine]]
:<math> \alpha = \frac{k_e e^2}{\hbar c} \approx \frac{1}{137,03599911} </math>
:<math> \alpha = \frac{1}{4 \pi} \left ( \frac{e}{q_{\text{P}}} \right )^2</math>
:<math> \alpha = \left ( \frac{e}{q_{\text{P}}} \right )^2</math>

La costante di struttura fine <math>\alpha</math> è anche chiamata ''costante di accoppiamento elettromagnetico'', confrontandola così con la [[costante di accoppiamento]] gravitazionale  <math>\alpha_{\text{G}}</math>. La [[massa a riposo dell'elettrone]] <math>m_e</math> misurata in termini di massa di Planck, è:

<math>m_e = \sqrt{4\pi \alpha_{\text{G}}} \cdot m_{\text{P}} \approx 1.48368 \cdot 10^{-22} \cdot m_{\text{P}} \, </math>(Versione Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside)

<math>m_e = \sqrt{\alpha_{\text{G}}} \cdot m_{\text{P}} \approx 4.18539 \cdot 10^{-23} \cdot m_{\text{P}} \, </math> (Versione gaussiana)

dove <math> {\alpha_{\text{G}}} </math> è la costante di accoppiamento gravitazionale:

<math> \alpha_{\text{G}} = \frac{G m_e^2}{\hbar c} \approx 1,7518 \cdot 10^{-45} </math>

<math> \alpha_{\text{G}} = \frac{1}{4 \pi} \left ( \frac{m_e}{m_{\text{P}}} \right )^2</math> (Versione Lorentz&nbsp;– Heaviside)

<math> \alpha_{\text{G}}= \left ( \frac{m_e}{m_{\text{P}}} \right )^2</math>(Versione gaussiana)

Alcune unità di Planck sono adatte per misurare quantità familiari nel mondo della fisica. Per esempio:

* la massa di Planck è di circa <math>6,14 \mu g</math> (versione di Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside) o <math>21,8 \mu g</math> (versione gaussiana);
* il momento di Planck è di circa <math>1,84\, \mathrm{N} \cdot s</math> (versione di Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside) o <math>6,52\, \mathrm{N} \cdot s</math> (versione gaussiana);
* l'energia di Planck è di circa <math>153\;k\mathrm{W}\cdot h</math> (versione Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside) o <math>543\;k\mathrm{W} \cdot h</math> (versione gaussiana);
* l'angolo di Planck è <math>1</math> [[radiante]] (entrambe le versioni);
* l'angolo solido di Planck è <math>1</math> [[steradiante]] (entrambe le versioni);
* la [[carica di Planck]] è di circa <math>3,3</math> cariche elementari (versione Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside) o <math>11,7</math> cariche elementari (versione gaussiana);
* l'impedenza di Planck è di circa <math>377\;\Omega</math> (versione Lorentz-Heaviside) o <math>30\,\Omega</math> (versione gaussiana);
* la [[Impedenza caratteristica del vuoto|conduttanza Planck]] è di circa <math>2,65\,m\mathrm{S}</math> (versione Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside) o <math>33,4\,m \mathrm{S}</math> (versione gaussiana);
* la [[Permeabilità magnetica|permeabilità di Planck]] è di circa <math>1,26 \frac{\mu \mathrm{H}}{m}</math> (versione Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside) o <math>0,1 \frac{\mu \mathrm{H}}{m}</math> (versione gaussiana);
* il flusso elettrico di Planck è di circa <math>59,8\, m \mathrm{V} \cdot \mu m</math> (versione Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside) o <math>16,9\, m \mathrm{V} \cdot \mu m</math> (versione gaussiana).

Tuttavia, la maggior parte delle unità di Planck ha [[Ordine di grandezza|ordini di grandezza]] troppo grandi o troppo piccoli per essere di uso pratico, quindi le unità di Planck come sistema sono realmente rilevanti solo per la fisica teorica. In effetti, <math>1</math> unità di Planck è spesso il valore più grande o più piccolo di una quantità fisica che ha senso secondo la nostra attuale comprensione. Per esempio:

* La velocità di Planck è la velocità della luce nel vuoto, la massima velocità fisica possibile nella relatività speciale;<ref>{{Cita libro|autore=Feynman|nome=R. P.|wkautore=Richard Feynman|autore2=Leighton|nome2=R. B.|wkautore2=Robert B. Leighton|nome3=M.|autore3=Sands|titolo=The Feynman Lectures on Physics|url=https://archive.org/details/feynmanlectureso0001feyn|anno=1963|editore=Addison-Wesley|pp={{cita testo|url=https://archive.org/details/feynmanlectureso0001feyn/page/n153|titolo=15}}–9|volume=1 "Mainly mechanics, radiation, and heat"|capitolo=The Special Theory of Relativity|lccn=63020717|ISBN=978-0-7382-0008-8}}</ref> 1 miliardesimo della velocità di Planck è di circa {{m|1,079|ul=km/h}}.
* La nostra comprensione del Big Bang inizia con l'[[Storia dell'universo|epoca di Planck]], quando l'universo aveva <math>1</math> tempo di Planck e <math>1</math> lunghezza di Planck di diametro, e aveva una temperatura di Planck pari a <math>1</math>. In quel momento, la [[Meccanica quantistica|teoria quantistica]], come attualmente intesa, diventa applicabile. Comprendere l'universo quando era meno di <math>1</math> tempo di Planck richiede una teoria della [[gravità quantistica]] che incorporerebbe gli effetti quantistici nella [[relatività generale]]. Tale teoria non esiste ancora.

Nelle unità di Planck abbiamo:

: <math>\alpha=\frac{e^2}{4\pi}</math> (Versione Lorentz&nbsp;– Heaviside)
: <math>\alpha=e^2</math> (Versione gaussiana)
: <math>\alpha_{\text{G}}=\frac{m_e^2}{4\pi}</math> (Versione Lorentz&nbsp;– Heaviside)
: <math>\alpha_{\text{G}}=m_e^2</math> (Versione gaussiana)

dove:

: <math>\alpha</math> è la costante di struttura fine
: <math>e</math> è la carica elementare
: <math>\alpha_{\text{G}}</math> è la [[Costanti di accoppiamento|costante di accoppiamento gravitazionale]]
: <math>m_e</math> è la massa di riposo dell'elettrone
: da qui la [[Radiazioni ionizzanti|carica specifica]] dell'[[elettrone]] <math>\left (\frac{e}{m_e} \right )</math> è <math>\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha_G}}</math> Carica specifica di Planck, in entrambe le versioni delle unità di Planck.

=== Significato ===
Le unità di Planck sono prive di arbitrarietà [[Antropocentrismo|antropocentrica]]. Alcuni fisici sostengono che la comunicazione con l'[[vita extraterrestre|intelligenza extraterrestre]] dovrebbe impiegare un tale sistema di unità per essere compresa.<ref>Michael W. Busch, Rachel M. Reddick (2010) "{{cita testo|url=http://www.lpi.usra.edu/meetings/abscicon2010/pdf/5070.pdf|titolo=Testing SETI Message Designs,}}" {{cita testo|url=http://www.lpi.usra.edu/meetings/abscicon2010/|titolo=''Astrobiology Science Conference 2010''}}, 26–29 April 2010, League City, Texas.</ref> A differenza del metro e del secondo, che esistono come [[Unità di misura|unità di base]] nel sistema [[Sistema internazionale di unità di misura|SI]] per ragioni storiche, la lunghezza di Planck e il tempo di Planck sono concettualmente collegati a un livello fisico fondamentale.

== Cosmologia ==
Nella cosmologia del Big Bang, l{{'}}'''epoca di Planck''' o '''era di Planck''' è il primo stadio del Big Bang, prima che il tempo trascorso fosse uguale al tempo di Planck, <math>t_{\text{P}}</math>, o circa <math>10^{-43}</math> secondi.<ref name="Planck-UOregon">{{Cita web|url=http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec20.html|titolo=Birth of the Universe|cognome=Staff|sito=[[University of Oregon]]|data=|accesso=24 settembre 2016|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20181128045313/http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec20.html|urlmorto=sì}} - discusses "Planck time" and "Planck era" at the very beginning of the [[Universo|Universe]]</ref> Al momento non esiste una teoria fisica disponibile per descrivere tempi così brevi, e non è chiaro in che senso il concetto di [[tempo]] sia significativo per valori inferiori al tempo di Planck. Si presume generalmente che gli [[Gravità quantistica|effetti quantistici della gravità]] dominino le interazioni fisiche a questa scala temporale. Su questa scala, si presume che la [[Teoria della grande unificazione|forza unificata]] del Modello standard sia [[Teoria del tutto|unificata con la gravitazione]]. Incommensurabilmente [[Temperatura di Planck|caldo]] e [[Densità di Planck|denso]], lo stato dell'epoca di Planck fu seguito dall'epoca della [[Alan Guth|grande unificazione]], in cui la gravitazione è separata dalla forza unificata del Modello Standard, a sua volta seguita [[Inflazione (cosmologia)|dall'epoca inflazionistica]], che si concluse dopo circa <math>10^{-32}</math> secondi (o circa <math>10^{10}\;t_P</math>).<ref name="KolbTurner1994">{{Cita libro|autore=Edward W. Kolb|autore2=Michael S. Turner|titolo=The Early Universe|url=https://books.google.com/?id=l6Z8W33JWGQC&pg=PA447|anno=1994|editore=Basic Books|p=447|ISBN=978-0-201-62674-2}}</ref>

Rispetto all'epoca di Planck, l'universo osservabile oggi sembra estremo quando espresso in unità di Planck, come in questo insieme di approssimazioni:<ref name="John D 2002">[[John David Barrow|John D. Barrow]], 2002. ''The Constants of Nature; From Alpha to Omega - The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe''. Pantheon Books. {{ISBN|0-375-42221-8}}</ref><ref>{{BarrowTipler1986}}</ref>

{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; background:#fff;"
|+Tabella 4: L'universo osservabile di oggi in unità di Planck
|-
!Proprietà dell'[[Universo osservabile]]
!Espressione
!Hubble in unità di Planck
!Unità di Hubble
<small>([[universo osservabile]])</small>
|- style="text-align:left;"
|[[Età dell'universo|Età di Hubble]]
|<math>\frac{1}{H_0}</math>
|<math>8,080 \cdot 10^{60}t_{\text{P}}</math>
|<math>4,356129 \cdot 10^{17}\;s \approx 13,799 \cdot 10^9\mathrm{anni}</math>
|-
|[[Universo osservabile|Diametro di Hubble]]
|<math>\frac{2 \pi c}{H_0}</math>
|<math>5,076 81 \cdot 10^{61}l_{\text{P}}</math>
|<math>8,205 43 \cdot 10^{26}\;m \approx 8,7 \cdot 10^{23}\,\mathrm{km}</math>
<math>\approx 9,2 \cdot 10^{10}\,\mathrm{anni\,luce}</math>
|-
|[[Universo osservabile|Massa di Hubble]]
|<math>\frac{8\pi c}{H_04\pi r_s}\equiv \frac{8\pi c^3}{3 H_0 G}</math>
|<math>8,080 \cdot 10^{60}m_{\text{P}}</math> <small><math>6,769 \cdot 10^{61}\,m_P</math> ''(con 8π/3)''</small>
|<math>\approx 1,758 6 \cdot 10^{53}\,\mathrm{kg} \approx 1,76 \cdot 10^{50}\,\mathrm{tonnellate}</math>
<math>\approx 1,47 \cdot 10^{54}\,\mathrm{kg}</math> <small>''(con 8π/3)''</small>

<math>\approx 8,844 \cdot 10^{22}\,\mathrm{masse\,solari}</math> <small>(solo stelle)</small>

<math>\approx 2,945 \cdot 10^{28}\,\mathrm{masse\,terrestri}</math>

<math>\approx 1,051 \cdot 10^{80}\,\mathrm{protoni}</math> <small>(conosciuto come [[numero di Eddington]])</small>
|-
|[[Energia del vuoto|Densità di Hubble]]
|<math>\frac{2 \Lambda}{r_s}=\frac{3 H_0^2}{4 \pi c^2r_s}\equiv \frac{3 H_0^2}{8 \pi G}</math>
|<math>1.8283 \cdot 10^{-123}\rho_{\text{P}}</math>
<math>1,531 7 \cdot 10^{-122}\rho_{\text{P}}</math>
|<math>\approx 9,4248 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg \cdot m^{-3}}</math>
<math>\approx 7,8957 \cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg \cdot m^{-3}}</math> <small>''(senza 3/8π)''</small>
|-
|[[Energia del vuoto|Pressione di Hubble]]
<small>Energia del vuoto</small>
|<math>\frac{\Lambda c^4}{G}=\frac{2\Lambda c^2}{ r_s}\equiv \frac{3 H_0^2 c^2}{8 \pi G}</math>
|<math>1,5317 \cdot 10^{-122}p_{\text{P}}</math>
|<math>\approx 7,0963 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{J\cdot m^{-3}}</math>
|-
|[[Radiazione cosmica di fondo|Temperatura di Hubble]]
|
|<math>1,92371 \cdot 10^{-32}\Theta_{\text{P}}</math>
|<math>2,72548\,\mathrm{K} \pm 0,00057\,\mathrm{K}\,</math> <small>(2,72548=[[radiazione cosmica di fondo]])</small>
<math>\approx -270,43452\,^{\circ}\mathrm{C}</math>

<math>\approx 160,23\,\mathrm{GHz}</math>

<math>\approx \lambda = 1,063\,mm</math> a <math>242\,\mathrm{GHz}</math>

<math>\approx 6,626 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{eV}</math>

<math>\approx 0,25\,\mathrm{eV \cdot cm^{-3}}</math>

<math>\approx 4,005 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{J \cdot m^{-3}}</math>

[[Radiazione cosmica di fondo|Temperatura della radiazione cosmica di fondo]]
|-
|[[Unità geometrizzate|Carica di Hubble]]
|<math> \frac{2cq_{r_\text{s}}}{H_0 r_s}\equiv \frac{8 \pi c^3}{3 H_0 G}\sqrt{4\pi\varepsilon_0 G}</math>
|<math>8,080 \cdot 10^{60}q_{\text{P}}</math>
|<math>\approx 1,5154 \cdot 10^{43}\,\mathrm{C}</math>
|-
|Accelerazione di Hubble
|<math>H_0c</math>
|<math>1,237623 \cdot 10^{-61}a_{\text{P}}</math>
|<math>\approx 6,882084 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}} \approx 7 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{g\,terrestri}</math>
|-
|Costante cosmologica, <math>\Lambda</math>
|<math>\Lambda \equiv \left(\frac{H_\text{0}}{2 \pi c} \right)^2</math>
|<math>5,42977 \cdot 10^{-122}t_{\text{P}}^{-2}</math>
<small>2,883 89 × 10<sup>−122</sup></small> ''l<sub>{{su|b=P|p=−2}}</sub> <small>(con 8π/3)</small>''
|<math>\approx 1,86811 \cdot 10^{-35}\,s^{-2}</math>
<math> 1,10352 \cdot 10^{-52}\,\mathrm{m^{-2}}</math>
|-
|[[Legge di Hubble|Costante di Hubble]]
|<math>H_0</math>
|<math>1,237623 \cdot 10^{-61}t_{\text{P}}^{-1}</math>
|<math>\approx 2,295616 \cdot 10^{-18} \approx 70,83531\mathrm{(km/s)/Mpc}</math>
|-
|Costante di accoppiamento di Hubble
|<math>\alpha_{H_0} \equiv \left(\frac{_{\text{Massa}}{H}_0}{m_{\text{P}}} \right)^2 \equiv \frac{G}{\hbar c} \left(\frac{8 \pi c^3}{3 H_0 G} \right)^2</math>
|<math>6,52865 \cdot 10^{121}</math>

<small>4,582 × 10<sup>123</sup> (con 8π/3)</small>
|<math>\approx 3,09253 \cdot 10^{106}\,_{Massa}H_0^2=\mathrm{Massa\,di\,Hubble\,al\,quadrato}</math>
<math>\approx 2,17046 \cdot 10^{108}\,_{Massa}H_0^2</math> <small>(con 8''π''/3)</small>
<br />
|-
|Entropia di Hubble
|<math>S_{H_0}=\alpha_{H_0} k_{\text{B}}\equiv \frac{\Lambda^{-2}k_{\text{B}}}{4  l_\text{P}^2} \equiv \frac{c^5 k_{\text{B}}}{\hbar G H_0^2}</math>
|<math>6,52865 \cdot 10^{121}</math>

<small>1,632 × 10<sup>123</sup> (1/4)</small>

<small>4,582 × 10<sup>123</sup> (con 8π/3)</small>
|<math>2,2534419 \cdot 10^{98}\,\mathrm{J/K}\,_{\mathrm{con 1/4}}\,9,013768 \cdot 10^{98}\,\mathrm{J/K}</math>

<math>7,551356 \cdot 10^{99}\,\mathrm{J/K}</math> <small>(con 8''π''/3)</small>
|-
|Informazione teorica di Hubble
secondo il limite di Bekenstein<ref>{{Cita web|url=https://www.webcitation.org/5pvpyakNu?url=http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/bekenstein_prd_7_2333_73.pdf|titolo=WebCite query result|accesso=10 aprile 2020}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=Chas A.|cognome=Egan|data=3 febbraio 2010|titolo=A LARGER ESTIMATE OF THE ENTROPY OF THE UNIVERSE|rivista=The Astrophysical Journal|volume=710|numero=2|pp=1825-1834|lingua=en|accesso=10 aprile 2020|doi=10.1088/0004-637x/710/2/1825|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0004-637X/710/2/1825|nome2=Charles H.|cognome2=Lineweaver}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=Jacob D.|cognome=Bekenstein|data=1973-04|titolo=Black Holes and Entropy|rivista=PhRvD|volume=7|numero=8|pp=2333-2346|lingua=en|accesso=10 aprile 2020|doi=10.1103/PhysRevD.7.2333|url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1973PhRvD...7.2333B/abstract}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://www.phys.huji.ac.il/~bekenste/PRD23-287-1981.pdf|titolo=Benkenstein Bound}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=Jacob D.|cognome=Bekenstein|data=2005-11|titolo=How does the entropy/information bound work ?|rivista=Foundations of Physics|volume=35|numero=11|pp=1805-1823|accesso=10 aprile 2020|doi=10.1007/s10701-005-7350-7|url=http://arxiv.org/abs/quant-ph/0404042}}</ref>
|<math>\frac{2\pi\alpha_{H_0}}{\log[2]}\equiv \left(\frac{2\pi c _{\text{distanza}}H_0 \,_{\text{Massa}}H_0}{\hbar \log[2]} \right) </math>
|<math>6,528645 \cdot 10^{122}\,\mathrm{I_{bits\,P}}</math>
|<math>\mathrm{I_{bits}} \approx 5,918034 \cdot 10^{122}\,\mathrm{bits}</math>
<math>\mathrm{I_{bytes}} \approx 7,397543 \cdot 10^{121}\,\mathrm{bytes}</math>

<math>\approx 2^{407,84}\,\mathrm{I_{bits}} \approx 2^{404,84}\,\mathrm{I_{bytes}}</math>

<math>\approx 7,4 \cdot 10^{109}\,\mathrm{TB}\approx 7,4 \cdot 10^{112}\,\mathrm{GB}\approx 7,4 \cdot 10^{115}\,\mathrm{MB}</math>

L'informazione di Hubble che può avere l'universo osservabile di dati secondo Seth LIyod<ref>{{Cita web|url=http://meche.mit.edu/documents/slloyd_thesis.pdf|titolo=Wayback Machine|data=7 giugno 2012|accesso=10 aprile 2020|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20120607195224/http://meche.mit.edu/documents/slloyd_thesis.pdf|urlmorto=sì}}</ref> e Jacob Bekenstein<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Robert M.|cognome=Wald|data=2015-12|titolo=Jacob David Bekenstein|rivista=PhT|volume=68|numero=12|pp=68-68|lingua=en|accesso=10 aprile 2020|doi=10.1063/PT.3.3029|url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2015PhT....68l..68W/abstract}}</ref> sugli studi dell'entropia dei buchi neri. Questo enorme valore ci dice quanti dati possiamo archiviare teoricamente, circa <math>7,4 \cdot 10^{109}\,\mathrm{TB}</math>, su una chiavetta USB che possa avere questa capacità. Ma per avere questa capacità teorica dovrebbe usare la stessa massa/energia dell'intero universo osservabile di oggi. Cioè l'analogia è che la massa di Hubble, quindi la massa del universo può avere massimo <math>7,4 \cdot 10^{109}\,\mathrm{TB}</math> di dati sapendo che ogni unità di Planck al quadrato può avere 1,133 bytes di dati. Quindi la radice quadrata delle unità di Planck e circa <math>1,0645\,\sqrt{_{Bytes}}</math>. l'intera massa di Hubble a circa <math>8,08 \cdot 10^{60}</math> unità di Planck, per <math>1,0645\,\sqrt{_{Bytes}}</math> di singola unità di Planck porta a <math>7,4 \cdot 10^{109}\,\mathrm{TB}</math>. In bits sarà la radice quadrata di <math>9,065\,\mathrm{bits}</math> della costante di accoppiamento di Planck, ovvero unità di Planck al quadrato. Diventerà <math>3,011\,\sqrt{_{bits}}</math> di singola unità di Planck per l'intera massa di Hubble a circa <math>8,08 \cdot 10^{60}</math> unità di Plack uguale a <math>5,918 \cdot 10^{122}\,\mathrm{bits}</math>. Questo calcolo deriva da Jacob Bekenstein che usava non la massa di Planck, ma l'area di Planck secondo la sua formula dell'entropia di un [[buco nero]] che è l'area della superficie divisa 4 area di Planck.
|}

La ricorrenza di grandi numeri vicino o correlata a <math>10^{60}</math> nella tabella sopra è una coincidenza che incuriosisce alcuni teorici. È un esempio del tipo di [[Ipotesi dei grandi numeri di Dirac|coincidenza]] di [[Ipotesi dei grandi numeri di Dirac|grandi numeri]] che ha portato teorici come [[Arthur Eddington|Eddington]] e [[Paul Dirac|Dirac]] a sviluppare teorie fisiche alternative (ad esempio una velocità della luce variabile o [[Ipotesi dei grandi numeri di Dirac|la teoria di ''G'']] variabile di [[Ipotesi dei grandi numeri di Dirac|Dirac]] ).<ref>{{Cita pubblicazione|autore=P.A.M. Dirac|anno=1938|titolo=A New Basis for Cosmology|rivista=[[Proceedings of the Royal Society A]]|volume=165|numero=921|pp=199-208|doi=10.1098/rspa.1938.0053|bibcode=1938RSPSA.165..199D}}</ref> Dopo la misurazione della [[costante cosmologica]] <math>\Lambda </math> nel 1998, stimata in <math>10^{-122}</math> unità di Planck, è stato notato che ciò è suggestivamente vicino al reciproco [[Età dell'universo|dell'età dell'universo]] al quadrato.<ref>J.D. Barrow and F.J. Tipler, ''The Anthropic Cosmological'' Principle, Oxford UP, Oxford (1986), chapter 6.9.</ref> Barrow and Shaw (2011) hanno proposto una teoria modificata in cui tale costante è un campo che si evolve in modo tale che il suo valore rimanga <math>\Lambda \sim T^{-2}</math> per tutta la storia dell'universo.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Barrow|nome=John D.|anno=2011|titolo=The value of the cosmological constant|url=https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_2011-10_43_10/page/2555|rivista=General Relativity and Gravitation|volume=43|numero=10|pp=2555-2560|doi=10.1007/s10714-011-1199-1|bibcode=2011GReGr..43.2555B|autore2=Shaw|nome2=Douglas J.|arxiv=1105.3105}}</ref>

{|class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; background:#fff;"
|+Tabella 5: Alcuni quantità fisiche comuni in unità di Planck
! Quantità
! versione di Lorentz–Heaviside
in unità di Planck
! versione di Gaussian
in unità di Planck
|-
![[Accelerazione di gravità|Gravità standard]] (<math>\mathrm{g}</math>)
| <math>6.25154 \cdot10^{-51}\,a_\text{P}</math>
| <math>1.76353 \cdot 10^{-51}\,a_\text{P}</math>
|-
![[Atmosfera (unità di misura)|Atmosfera standard]] (<math>\mathsf{atm}</math>)
| <math>3.45343 \cdot 10^{-108}\,p_\text{P}</math>
| <math>2.18691 \cdot 10^{-109}p_\text{P}</math>
|-
![[Tempo universale|Tempo astronomico solare]]
| <math>4.52091 \cdot 10^{47}\,t_\text{P}</math>
| <math>1.60262 \cdot 10^{48}\,t_\text{P}</math>
|-
![[Raggio terrestre|Raggio equatoriale della Terra]]
| <math>1.11323 \cdot 10^{41}\,l_\text{P}</math>
| <math>3.94629 \cdot 10^{41}\,l_\text{P}</math>
|-
![[Raggio terrestre|Circonferenza equatoriale della Terra]]
| <math>6.99465 \cdot 10^{41}\,l_\text{P}</math>
| <math>2.47954 \cdot 10^{42}\,l_\text{P}</math>
|-
![[Universo osservabile|Diametro dell'universo osservabile]]
| <math>1.53594 \cdot 10^{61}\,l_\text{P}</math>
| <math>5.44477 \cdot 10^{61}\,l_\text{P}</math>
|-
![[Terra|Volume della Terra]]
| <math>1.89062 \cdot 10^{55}\,l_\text{P}^3</math>
| <math>6.70208 \cdot 10^{55}\,l_\text{P}^3</math>
|-
![[Universo osservabile|Volume dell'universo osservabile]]
| <math>6.98156 \cdot 10^{114}\,l_\text{P}^3</math>
| <math>2.47490 \cdot 10^{115}\,l_\text{P}^3</math>
|-
![[Terra|Massa della Terra]]
| <math>9.72717 \cdot 10^{32}\,m_\text{P}</math>
| <math>2.74398 \cdot 10^{32}\,m_\text{P}</math>
|-
![[Universo osservabile|Massa dell'universo osservabile]]
| <math>2.37796 \cdot 10^{61}\,m_\text{P}</math>
| <math>6.70811 \cdot 10^{60}\,m_\text{P}</math>
|-
![[Terra|Densità media della Terra]]
| <math>1.68905 \cdot 10^{-91}\,\rho_\text{P}</math>
| <math>1.06960 \cdot 10^{-93}\,\rho_\text{P}</math>
|-
![[Universo osservabile|Densità dell'universo osservabile]]
| <math>3.03257 \cdot 10^{-121}\,\rho_\text{P}</math>
| <math>1.92040 \cdot 10^{-123}\,\rho_\text{P}</math>
|-
![[Terra|Età della Terra]]
| <math>7.49657 \cdot 10^{59}\,t_\text{P}</math>
| <math>2.65747 \cdot 10^{60}\,t_\text{P}</math>
|-
![[Età dell'universo|Età dell'universo (tempo di Hubble)]]
| <math>2.27853 \cdot 10^{60}\,t_\text{P}</math>
| <math>8.07719 \cdot 10^{60}\,t_\text{P}</math>
|-
![[Temperatura dell'aria|Temperatura media della Terra]]
| <math>7.18485 \cdot 10^{-30}\,\Theta_\text{P}</math>
| <math>2.02681 \cdot 10^{-30}\,\Theta_\text{P}</math>
|-
![[Universo osservabile|Temperatura dell'universo]]
| <math>6.81806 \cdot 10^{-32}\,\Theta_\text{P}</math>
| <math>1.92334 \cdot 10^{-32}\,\Theta_\text{P}</math>
|-
![[Legge di Hubble|Costante di Hubble]] (<math>H_0</math>)
| <math>4.20446 \cdot 10^{-61}\,t_\text{P}^{-1}</math>
| <math>1.18605 \cdot 10^{-61}\,t_\text{P}^{-1}</math>
|-
![[Costante cosmologica]] (<math>\Lambda</math>)
| <math>3.62922 \cdot 10^{-121}\,l_\text{P}^{-2}</math>
| <math>2.88805 \cdot 10^{-122}\,l_\text{P}^{-2}</math>
|-
![[Energia del vuoto|Densità del vuoto energetico]] (<math>\rho_\text{0}</math>)
| <math>1.82567 \cdot 10^{-121}\,\rho_\text{P}</math>
| <math>1.15612 \cdot 10^{-123}\,\rho_\text{P}</math>
|-
![[Punto di valore|Punto di evaporazione dell'acqua]]
| <math>6.83432 \cdot 10^{-30}\,\Theta_\text{P}</math>
| <math>1.92793 \cdot 10^{-30}\,\Theta_\text{P}</math>
|-
![[Punto di ebollizione|Punto di ebollizione dell'acqua]]
| <math>9.33636 \cdot 10^{-30}\,\Theta_\text{P}</math>
| <math>2.63374 \cdot 10^{-30}\,\Theta_\text{P}</math>
|-
![[Punto triplo|Pressione del punto triplo dell'acqua]]
| <math>2.08469 \cdot 10^{-109}\,p_\text{P}</math>
| <math>1.32015 \cdot 10^{-111}\,p_\text{P}</math>
|-
![[Punto triplo|Temperatura del punto triplo dell'acqua]]
| <math>6.83457 \cdot 10^{-30}\,\Theta_\text{P}</math>
| <math>1.92800 \cdot 10^{-30}\,\Theta_\text{P}</math>
|-
![[Acqua|Densità dell'acqua]]
| <math>3.06320 \cdot 10^{-92}\,\rho_\text{P}</math>
| <math>1.93980 \cdot 10^{-94}\,\rho_\text{P}</math>
|-
![[Calore specifico]] dell'acqua
| <math>1.86061 \cdot 10^{18}\,c_\text{P}</math>
| <math>6.59570 \cdot 10^{18}\,c_\text{P}</math>
|-
! Volume molare ideale (<math>V_m</math>)
| <math>2.00522 \cdot 10^{77}\,\mathcal{V}_\text{P}</math>
| <math>8.93256 \cdot 10^{78}\,\mathcal{V}_\text{P}</math>
|-
![[Carica elementare]] (<math>e</math>)
| <math>3.02822 \cdot 10^{-1}\,q_\text{P}</math>
| <math>8.54245 \cdot 10^{-2}\,q_\text{P}</math>
|-
![[Massa dell'elettrone]] (<math>m_e</math>)
| <math>1.48368 \cdot 10^{-22}\,m_\text{P}</math>
| <math>4.18539 \cdot 10^{-23}\,m_\text{P}</math>
|-
![[Protone|Massa del protone]] (<math>m_p</math>)
| <math>2.72427 \cdot 10^{-19}\,m_\text{P}</math>
| <math>7.68502 \cdot 10^{-20}\,m_\text{P}</math>
|-
![[Neutrone|Massa del neutrone]] (<math>m_n</math>)
| <math>2.72802 \cdot 10^{-19}\,m_\text{P}</math>
| <math>7.69562 \cdot 10^{-20}\,m_\text{P}</math>
|-
![[Massa atomica|Massa atomica costante]] (<math>u</math>)
| <math>2.70459 \cdot 10^{-19}\,m_\text{P}</math>
| <math>7.62951 \cdot 10^{-20}\,m_\text{P}</math>
|-
! Rapporto carica-massa dell'elettrone (<math>\xi_e</math>)
| colspan=2| <math>-2.04102 \cdot 10^{21}\,q_{\,r_\text{s}}</math>
|-
! Rapporto carica-massa del protone (<math>\xi_e</math>)
| colspan=2| <math>1.11157 \cdot 10^{18}\,q_{\,r_\text{s}}</math>
|-
! giromagneto del protone (<math>\gamma_p</math>)
| colspan=2| <math>3.10445 \cdot 10^{18}\,\Theta_\text{P}</math>
|-
! Momento magnetico dell'elettrone (<math>\mu_e</math>)
| colspan=2| <math>-1.02169 \cdot 10^{21}\,{\mu_d}_\text{P}</math>
|-
! Momento magnetico del protone (<math>\mu_p</math>)
| colspan=2| <math>1.55223 \cdot 10^{18}\,{\mu_d}_\text{P}</math>
|-
![[Costante di Faraday]] (<math>F</math>)
| <math>3.02822 \cdot 10^{-1}\,{q_\text{P}} N_A</math>
| <math>8.54245 \cdot 10^{-2}\,{q_\text{P}} N_A</math>
|-
![[Raggio di Bohr]] (<math>a_0</math>)
| <math>9.23620 \cdot 10^{23}\,l_\text{P}</math>
| <math>3.27415 \cdot 10^{24}\,l_\text{P}</math>
|-
![[Magnetone di Bohr]] (<math>\mu_B</math>)
| colspan=2| <math>1.02051 \cdot 10^{21}\,\frac{{\bf E}_\text{P}}{{\bf B}_\text{P}}</math>
|-
! Flusso magnetico quantistico (<math>\varphi_0</math>)
| <math>10.3744\,{\phi}^E_\text{P}</math>
| <math>36.7762\,{\phi}^E_\text{P}</math>
|-
![[Raggio classico dell'elettrone]] (<math>r_e</math>)
| <math>4.91840 \cdot 10^{19}\,l_\text{P}</math>
| <math>1.74353 \cdot 10^{20}\,l_\text{P}</math>
|-
![[Lunghezza d'onda Compton]] dell'elettrone (<math>\lambda_c</math>)
| <math>2.71873 \cdot 10^{28}\,l_\text{P}</math>
| <math>9.63763 \cdot 10^{28}\,l_\text{P}</math>
|-
![[Costante di Rydberg]] (<math>R_\infty</math>)
| <math>6.28727 \cdot 10^{-28}\,l_\text{P}^{-1}</math>
| <math>1.77361 \cdot 10^{-28}\,l_\text{P}^{-1}</math>
|-
![[Costante di von Klitzing|Costante di Josephson]] (<math>K_J</math>)
| <math>9.63913 \cdot 10^{-2}\,\frac{1}{\phi_\text{P}t_\text{P}}</math>
| <math>2.71915 \cdot 10^{-2}\,\frac{1}{\phi_\text{P}t_\text{P}}</math>
|-
![[Costante di von Klitzing]] (<math>R_K</math>)
| <math>68.5180\,Z_\text{P}</math>
| <math>861.023\,Z_\text{P}</math>
|-
![[Costante di Stefan-Boltzmann]] (<math>\sigma</math>)
| colspan=2| <math>1.64493 \cdot 10^{-1}\,\frac{P_\text{P}}{l_\text{P}^2 \, \Theta_\text{P}^4}</math>
|}

== Semplificazione delle equazioni ==
Le quantità fisiche che hanno dimensioni diverse (come il tempo e la lunghezza) non possono essere equiparate anche se sono numericamente uguali (1 secondo non è uguale a 1 metro). Nella fisica teorica, tuttavia, questo scrupolo può essere messo da parte, mediante un processo chiamato ''non dimensionalizzazione''. La tabella 6 mostra come l'uso delle unità di Planck semplifichi molte equazioni fondamentali della fisica, poiché conferiscono a ciascuna delle cinque costanti fondamentali, e prodotti di esse, un semplice valore numerico pari a <math>1</math>, mentre nel sistema SI le unità devono essere contabilizzate. Nella forma non dimensionata le unità, che ora sono unità di Planck, non devono essere scritte se ne viene compreso l'uso.
<br />
{| class="wikitable"
|+Tabella 6: Equazioni usate spesso nelle unità di Planck
|-
! rowspan="2" align="left" | Nome
! rowspan="2" align="left" | Equazione
! colspan="2" align="left" |Unità Naturali di Planck
|-
!Versione Lorentz–Heaviside
!Versione Gaussian
|-
| colspan="4" |
|-
! colspan="4" |'''''Proprietà delle Forze'''''
|-----
|[[Legge di gravitazione universale]] di Newton
|<math> F_{_N} = -G \, \frac{m_1 m_2}{r^2} </math>
|<math> F = -\frac{m_1 m_2}{4\pi r^2} </math>
|<math> F = \frac{m_1 m_2}{r^2} </math>
|-
|[[Forza di Coulomb]] per [[Carica elettrica|cariche elettriche]]
|<math> F_e = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{_1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} </math>
|<math> F = \frac{q_1 q_2}{4 \pi r^2} </math>
|<math> F = \frac{q_1 q_2}{r^2} </math>
|-
|[[Forza di Coulomb]] per [[Magnetostatica|cariche magnetiche]]
|<math> F_m = k_m \frac{b_1 b_2}{r^2} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{b_1 b_2}{r^2} </math>
|<math> F = \frac{b_1 b_2}{4 \pi\, r^2} </math>
|<math> F = \frac{b_1 b_2}{r^2} </math>
|-
|[[Entropia (teoria dell'informazione)|Forza Entropica]]<ref name="Gravity as Entropic Force">{{Cita web|url=https://www.yumpu.com/en/document/read/28132195/gravity-as-entropic-force|titolo=Gravity as Entropic Force|autore=Yumpu.com|sito=yumpu.com|lingua=en|accesso=3 aprile 2020}}</ref>
|<math>F_{\Theta}\Delta x = {T} \,\Delta \,{\bf S} </math>

<math>F_\Theta = -\frac{G \, k_B^2}{c^4}\frac{\Theta_1 \Theta_2}{ r^2}</math>

<math>F_\Theta =\frac{k_B^2}{\hbar c} \Theta_1 \Theta_2 \equiv \frac{\pi \,\mu_0}{\alpha \, c^2}\, {\Theta_1 \Theta_2}</math>
|<math> F_\Theta = -{k_B^2}\frac{\Theta_1 \Theta_2}{4 \pi \,r^2}</math>
|<math> F_\Theta = -{k_B^2}\frac{\Theta_1 \Theta_2}{ r^2}</math>
|-
|[[Interazione gravitazionale#Derivazione delle leggi della gravitazione dalla meccanica statistica applicata al principio olografico|Gravità Entropica]]<ref name="Gravity as Entropic Force" /> proposto da [[Erik Verlinde]] e Ted Jacobson
| colspan="3" |<math>F_\Phi=\frac{F_{_N}}{N}=\frac{{F_{_N}\,4 \pi \, r^2\, \Theta}}{l_P^2 \, T_{_{uruh}}}= m \frac{4\pi c}{\hbar} \frac{E}{N} = m \frac{4\pi c^3}{\hbar} \frac{M}{N} = m\, 4\pi \frac{GM}{r^2} = G \frac{m M}{r^2}</math>

<math>N =\frac{A_{BH}}{\ell_P^2}=\frac{4 \pi\, r^2}{l_P^2}= \frac{4 \pi\, r^2 c^3}{\hbar \, G}</math>

<math>F_\Phi=\frac{F_\Theta}{F_e} = -\frac{G\,k_B^2}{c^4 \,k_e}\frac{\Theta_1 \Theta_2 }{q_1 q_2}</math>

<math>F_\Phi=\frac{\Phi^2\,F_\Theta}{F_{_N}} = \frac{k_B^2}{G}\frac{\Theta_1 \Theta_2 }{m_1 m_2}</math>

<math>F_\Phi = - \frac{k_B^2}{ k_e}= \frac{\Theta_1 \Theta_2}{ q_1 q_2}</math>
|-
! colspan="4" |'''''Proprietà dei Quanti'''''
|-----
|Energia di un [[fotone]] o dell'[[Impulso (fisica)|impulso]] di una particella <math>{\nu }- { \omega }</math>
|<math>{ E = h \nu } \ </math>

<math>{ E = \hbar \omega } \ </math>

<math>E=\hbar\omega=h\nu=\frac{hc}{\lambda}</math>
| colspan="2" |<math>{ E = 2\pi \nu } \ </math>

<math>{ E = \omega } \ </math>

<math>E=\omega=2\pi \nu=\frac{2\pi}{\lambda}</math>
|-
|[[Momento di inerzia|Momento]] di un [[fotone]]
|<math>p=\hbar \,k=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}</math>
| colspan="2" |<math>p=k=2\pi \nu=\frac{2\pi}{\lambda}</math>
|-
|[[Lunghezza d'onda]] e [[lunghezza d'onda Compton]] e [[Ipotesi di de Broglie]] (come materia d'onda)
|<math>\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{2\pi \hbar}{mv}</math>

<math>\lambda_{2 \pi} = \frac{\hbar}{mv}</math>
| colspan="2" |<math>\lambda = \frac{2\pi}{mv}</math><math>\lambda_{2 \pi} = \frac{1}{mv}</math>
|-
|La formula e [[lunghezza d'onda Compton]] e [[Ipotesi di de Broglie]]
|<math>\lambda = \frac{h}{m\, c} = \frac{2\pi \hbar}{m \,c}</math>

<math>\lambda_{2 \pi} = \frac{\hbar}{m \, c}</math>
| colspan="2" |<math>\lambda = \frac{2\pi}{m \, c}</math>

<math>\lambda_{2 \pi} = \frac{_1}{m \, c}</math>
|-----
| La celebre formula [[E=mc²]] di [[Albert Einstein|Einstein]]
|<math>{ E = m c^2} \ </math>
| colspan="2" |<math>{ E = m } \ </math>
|-
|[[E=mc²|Relazione energia-momento]]
|<math> E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2 \;</math>
| colspan="2" |<math> E^2 = m^2 + p^2 \;</math>
|-
|[[Principio di indeterminazione di Heisenberg]]
|<math>\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}</math>
| colspan="2" |<math>\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{1}{2}</math>
|-
|[[Equazione di Schrödinger]] in forma [[Meccanica hamiltoniana|Hamiltoniana]]
|<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = H \cdot \psi</math>
| colspan="2" |<math>i \frac{\partial}{\partial t} \psi = H \cdot \psi</math>
|-----
| Forma di [[Operatore hamiltoniano|Hamilton]] dell'[[Equazione di Schrödinger]]
|<math> H \left| \psi_t \right\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi_t \right\rangle</math>
| colspan="2" |<math> H \left| \psi_t \right\rangle = i \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi_t \right\rangle</math>
|-----
| Forma covariante dell'[[Equazione di Dirac]]
|<math>\ ( \hbar \gamma^\mu \partial_\mu + imc) \psi = 0</math>
| colspan="2" |<math>\ ( \gamma^\mu \partial_\mu + im) \psi = 0</math>
|-----
|[[Equazione di Schrödinger]]
|<math>- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) =
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)</math>
| colspan="2" |<math>
- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) =
i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)
</math>
|-
! colspan="4" |'''''Proprietà Atomiche'''''
|-
|Costante di struttura fine
|<math>\alpha = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c } = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h c} = \frac{k e^2}{\hbar c}</math>
|<math>{4\alpha}</math>
|<math>\frac{\alpha}{\pi}</math>
|-
|[[Costanti di accoppiamento|Costante di accoppiamento gravitazionale]]
| colspan="3" |<math>\alpha_\mathrm{G} = \frac{G \,m_\mathrm{e}^2}{\hbar \,c} = \left( \frac{m_\mathrm{e}}{m_\mathrm{P}} \right)^2</math>
|-
|[[Elettronvolt]]
| colspan="3" |<math>{eV}=\phi\,\,q = {1}_{_{volt}} \,e</math>
|-
|Flusso magnetico: [[Quantizzazione del flusso|costante di Josephson]] ''K<sub>J</sub>''
|<math>K_J=\frac{e}{\pi \hbar}</math>
|<math>K_J=\sqrt{\frac{4\alpha}{\pi}}</math>
|<math>K_J=\frac{\sqrt{\alpha}}{\pi}</math>
|-
|Effetto Hall quantistico: [[Effetto Hall quantistico|costante di Von Klitzing]] ''R<sub>K</sub>''
|<math>R_K=\frac{2\pi \,\hbar}{e^2}</math>
|<math>R_K=\frac{_1}{2 \,\alpha}</math>
|<math>R_K=\frac{2\pi}{\alpha}</math>
|-
|[[Raggio di Bohr]] di un atomo
|<math>a_0=\frac{4\pi \,\varepsilon_0 \hbar^2}{m_{\text{e}} e^2} = \frac{\hbar}{m_{\text{e}} c\, \alpha}</math>
|<math>a_0=\frac{_1}{\sqrt{4\pi\, \alpha^2\alpha_G}}</math>
|<math>a_0=\frac{_1}{\sqrt{\alpha^2\alpha_G}}</math>
|-
|Nucleo [[Magnetone di Bohr|magnetico di Bhor]]
|<math>\mu_{\mathbf B}=\frac{e \,\hbar}{2 \, m_e}</math>
| colspan="2" |<math>\mu_{\mathbf B}=\sqrt{\frac{\alpha}{4 \,\alpha_G}}</math>
|-
|Costante di Rydberg ''R''<sub>∞</sub>
|<math>R_\infty={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon_0^2h^3c}}=\frac{\alpha^2 m_\text{e} c}{4 \pi \,\hbar}</math>
| colspan="2" |<math>R_\infty=\sqrt{\frac{\alpha^4\alpha_G}{4 \pi}}</math>
|-
|[[Esperimento di Millikan|Rapporto di carica-massa]] dell'elettrone
|<math>\xi_e=\frac{e}{m_e}=\sqrt{\frac{ \alpha \,G}{k_e \alpha_G}}=\sqrt{\frac{4\pi \varepsilon_0 G \,\alpha}{\alpha_G}}</math>
| colspan="2" |<math>\xi_e=\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha_G}}</math>
|-
|Costante di Avogadro ''N''<sub>A</sub>
| colspan="3" |<math>N_A =\frac{R}{k_B}</math>

<math>n_0 = \frac{p_0N_{\rm A}}{R\,T_0} \frac{R}{k_B}</math>
|-
|[[Costante di Faraday]] F<sub>e</sub>
| colspan="3" |<math>N \,q=N_A \,e</math>
|-
! colspan="4" |'''''Proprietà Termodinamiche'''''
|-
|[[Beta termodinamica]], temperatura inversa <nowiki>''</nowiki>''β''<nowiki>''</nowiki>
| colspan="3" |<math>\beta = \frac{_1}{k_B T}</math>
|-
|[[Temperatura assoluta|Temperature termodinamica]] <nowiki>''</nowiki>''Θ, T''<nowiki>''</nowiki>
| colspan="3" |<math>\Theta=\tau = k_B T </math>

<math>\Theta = k_B  \frac{\partial U}{\partial S}_{N} </math>

<math>\Theta^{-1} = \frac{_1}{k_B}\frac{\partial S}{\partial U}_{N} </math>
|-
|[[Entropia]] <nowiki>''</nowiki>'''''S'''''<nowiki>''</nowiki>
| colspan="3" |<math>S = -k_B\sum_i p_i\ln p_i</math>

<math>S = -\frac{\partial F}{\partial\, T}_{V}</math>

<math>S = -\frac{\partial G}{\partial\, T}_{N,P}</math>
|-
|[[Entropia (teoria dell'informazione)|Entropia dell'informazione]] di [[Claude Shannon|Shannon]]
| colspan="3" |<math>
\Eta(X) = -\sum_{i=1}^n {\mathrm{P}(x_i) \log_b \mathrm{P}(x_i)}
</math>
|-
|[[Pressione]] <nowiki>''</nowiki>''p''<nowiki>''</nowiki>
| colspan="3" |<math>p = -\frac{\partial F}{\partial\, V}_{T,N}</math>

<math>p = -\frac{\partial U}{\partial\, V}_{S,N}</math>
|-
|[[Energia interna]] <nowiki>''U''</nowiki>
| colspan="3" |<math>U = \sum_i  E_i</math>
|-
|[[Entalpia]] <nowiki>''H''</nowiki>
| colspan="3" |<math>H = U+pV</math>
|-
|[[Funzione di partizione (meccanica statistica)|Funzione di partizione]] ''<small>(meccanica statistica)</small>'' <nowiki>''Z''</nowiki>
| colspan="3" |<math>Z</math>
|-
|[[Energia libera di Gibbs]] <nowiki>''G''</nowiki>
| colspan="3" |<math> G = H - TS</math>
|-
|[[Energia libera di Helmholtz]] <nowiki>''F''</nowiki>
| colspan="3" |<math>F = U - TS</math>
|-
|[[Grande potenza|Energia libera di Landau]], grande potenziale
| colspan="3" |<math>\Omega_G = U - TS - \mu N</math>
|-
|Potenziale di Massieu, [[Energia libera di Helmholtz|entropia libera di Helmholtz]]
| colspan="3" |<math>\phi_F = S - \frac{U}{T}</math>
|-
|[[Energia di Planck|Potenziale di Planck]], [[Energia libera di Gibbs|entropia libera di Gibbs]]
| colspan="3" |<math>\Xi = \Phi - p \frac{V}{T}</math>
|-
|Relazioni di Maxwell:

*<math>U(S,V)\,</math> = Energia interna
*<math>H(S,P)\,</math> = Entalpia
*<math>F(T,V)\,</math> = Energia libera di Helmholtz
*<math>G(T,P)\,</math> = Energia libera di Gibbs
| colspan="3" |<math>\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_V = \frac{\partial^2 U }{\partial S \partial V}

  </math>

<math> +\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = - \frac{\partial^2 F }{\partial T \partial V}

</math>

<math> -\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \frac{\partial^2 G }{\partial T \partial P}</math>
|-
|[[Potenziale chimico]] <math>\mu_i</math>
| colspan="3" |<math>\mu_i = \left (\frac{\partial U}{\partial N_i} \right )_{N_{j \neq i}, S, V }</math>

<math>\mu_i = \left (\frac{\partial F }{\partial N_i} \right )_{T, V }</math>

<small>''Dove F non è proporzionale di N perché μ_i dipende dalla pressione.''</small>

<math>\mu_i = \left (\frac{\partial G }{\partial N_i} \right )_{T, P } </math>

<small>''Dove G è proporzionale a N (purché la composizione del rapporto molare del sistema rimanga la stessa) perché μ_i dipende solo dalla temperatura, dalla pressione e dalla composizione.''</small>

<math>\frac{\mu_i}{\tau} = -\frac{_1}{k_B} \left (\frac{\partial S }{\partial N_i} \right )_{U,V}</math>
|-
|[[Calore|Calore generale]], [[capacità termica]]
| colspan="3" |<math>C = \frac{\partial Q }{\partial T}</math>
|-
|[[capacità termica]] ([[Isobara (termodinamica)|isobarica]])
| colspan="3" |<math>C_{p} = \frac{\partial H }{\partial T}</math>
|-
|[[Calore specifico]] ([[Isobara (termodinamica)|isobarica]])
| colspan="3" |<math>C_{mp} = \frac{\partial^2 Q }{\partial m\, \partial T}</math>
|-
|[[Calore specifico]] molare ([[Isobara (termodinamica)|isobarica]])
| colspan="3" |<math>C_{np} = \frac{\partial^2 Q }{\partial n\, \partial T} </math>
|-
|[[capacità termica]] ([[Isocora|isocorica]]/volumetrica)
| colspan="3" |<math>C_{V} = \frac{\partial U }{\partial T}</math>
|-
|[[Capacità termica|Calore specifico]] ([[Isocora|isocorica]])
| colspan="3" |<math>C_{mV} = \frac{\partial^2 Q }{\partial m\, \partial T}</math>
|-
|[[Calore specifico]] molare ([[Isocora|isocorica]])
| colspan="3" |<math>C_{nV} = \frac{\partial^2 Q }{\partial n\, \partial T}</math>
|-
|[[Calore latente|Calore specifico latente]]
| colspan="3" |<math>L = \frac{\partial Q }{\partial m}</math>
|-
|Rapporto tra [[Capacità termica|capacità di calore]] [[Isobara (termodinamica)|isobarica]] e [[Isocora|isocorica]], rapporto di [[capacità termica]], [[Coefficiente di dilatazione adiabatica|indice adiabatico]]. [[Calore specifico|Rapporto di Mayer]]
| colspan="3" |<math>\gamma = \frac{C_p}{c_V}=\frac{c_p}{c_V}=\frac{C_{mp}}{c_{mV}}</math>
|-
|[[Temperatura|Gradiente della temperatura]]
| colspan="3" |<math>\nabla \cdot T</math>
|-
|Velocità di [[conduzione termica]], [[corrente termica]], flusso termico, potenza di calore.
| colspan="3" |<math>P = \mathrm{d} Q/\mathrm{d} t</math>
|-
|[[Calore|Intensità di calore]]
| colspan="3" |<math>I = \mathrm{d} P/\mathrm{d} A</math>
|-
|[[Conducibilità termica|Densità del flusso termico]] ''<small>(analogo vettoriale dell'intensità termica sopra)</small>''
| colspan="3" |<math>Q = \iint \mathbf{q} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\mathrm{d} t</math>
|-
|Proprietà Quantistiche Termiche
| colspan="3" |<math> U = N k_B T^2 \left(\frac{\partial \ln Z}{\partial T}\right)_V</math>

<math>S =  \frac{U}{T} + N</math>

<chem> S = \frac{U}{T} + N k_B \ln Z - N k \ln N + Nk</chem><!-- Particelle indistinguibili -->
|-
|[[Grado di libertà (termodinamica)|Grado di libertà]]
[[Funzione di partizione (meccanica statistica)|Funzione di partizione]]
| colspan="3" |<math>Z_t = \frac{(2 \pi m k_B T)^\frac{3}{2} V}{h^3}</math> ''<small>Traslazione</small>''

<math>Z_v = \frac{1}{1 - e^\frac{-h \omega}{2 \pi k_B T}}</math> ''<small>Vibrazione</small>''

<math>Z_r = \frac{2 I k_B T}{\sigma (\frac{h}{2 \pi})^2}</math> <small>''Rotazione''</small>
|-----
| Definizione della [[temperatura]] per l'energia d'una particella per [[Grado di libertà (termodinamica)|grado di libertà]]
|<math>{ E = \frac{1}{2} k_{B} \Theta } \ </math>
| colspan="2" |<math>{ E = \frac{1}{2} \Theta } \ </math>
|-----
|[[Costante di Boltzmann|Legge di Boltzmann]] per l'[[entropia]]
|<math>{ S = k_B \ln \Omega } \ </math>
| colspan="2" |<math>{ S = \ln \Omega } \ </math>
|-----
|[[Legge di Planck]] (intensità di superficie per unità d'[[angolo solido]] per unità di [[Velocità angolare|frequenza angolare]]) per un corpo nero a [[temperatura]] ''Θ''.
|<math> I(\omega,\Theta) = \frac{\hbar \omega^3 }{4 \pi^3 c^2}~\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B \Theta}}-1} </math>
| colspan="2" |<math> I(\omega,\Theta) = \frac{\omega^3 }{4 \pi^3}~\frac{1}{e^{\omega/ \Theta}-1} </math>
|-
|[[Costante dei gas]]
| colspan="3" |<math>R = N_{\rm A} k_B</math>

<math>R = \frac{PV}{nT}</math>
|-
|[[Equazione di stato dei gas perfetti]]
|<math>P \,V = n\,R\,T = N\,k_\text{B}T</math>
| colspan="2" |<math>P\, V = N\,T</math>
|-
|Equazioni medie della velocità dei gas
|<math>v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3k_\text{B}T}{m}}</math>
| colspan="2" |<math>v_{rms} = \sqrt{\frac{3T}{m}}</math>
|-
|[[Teoria cinetica dei gas]]
|<math>\Sigma \frac{1}{2} mv^2 = \frac{3}{2}Nk_\text{B}T</math>
| colspan="2" |<math>\Sigma \frac{1}{2} mv^2 = \frac{3}{2}NT</math>
|-
|[[Legge di Wien]] per la temperatura
W = ''<small>[[Funzione W di Lambert|4.965114231744276303698759131322893944...]]</small>''
| colspan="3" |<math>T \cdot \lambda_{max} = \frac{C_2}{_W}= \frac{h \, c}{ k_{B} {_{\bigl[ 5 + W(-5e^{-5})\bigr]}}}</math>
|-
|[[Legge di Planck|Costante di prima radiazione]] ''C''<sub>1L</sub>
| colspan="3" |<math> C_{1\,L} =  2 \,{h\,c^2} </math>
|-
|[[Costante di Stefan-Boltzmann|Località di Planck, seconda radiazione costante]]
|<math> C_2 =  \frac{h\, c}{k_B} </math>
|<math> C_2 =  \frac{_1}{4 \pi \,k_B} </math>
|<math> C_2 =  \frac{_1}{k_B} </math>
|-----
|[[Costante di Stefan-Boltzmann]]
|<math> \sigma =  \frac{\pi^2 k_B^4}{60 \hbar^3 c^2} </math>
| colspan="2" |<math>\ \sigma = \pi^2/60 </math>
|-
|[[Effetto Unruh]] per la temperatura
|<math>\Theta= T =\frac{\hbar a}{2\pi c k_B}</math>
| colspan="2" |<math>\Theta=T=\frac{a}{2\pi}</math>
|-
|[[Energia termica]] delle particelle libere
|<math>{ E = \tfrac12 k_\text{B} T} \ </math>
| colspan="2" |<math>{ E = \tfrac12 T} \ </math>
|-
|[[Legge di Boltzmann]] per entropia
|<math>{ S = k_\text{B} \ln \Omega } \ </math>
| colspan="2" |<math>{ S = \ln \Omega } \ </math>
|-
|[[Termodinamica dei buchi neri|Temperatura di Hawking]] per i buchi neri
|<math>T_H =  \frac{\hbar}{c k_{\Beta}} \frac{\kappa}{2 \pi}</math>

<math>T_H=\frac{\hbar c^3}{8\pi G M k_B}</math>
<br />
|<math>T_H=\frac{1}{2 M}</math>
|<math>T_H=\frac{1}{8\pi M}</math>
|-
|[[Spazio-tempo di Schwarzschild|Accelerazione di superficie]] per i buchi neri
|<math>k = \frac{ \hbar c^3 }{4 G M k_B }</math>
| colspan="2" |<math>k = \frac{ 1 }{4 M }</math>
|-----
|[[Termodinamica dei buchi neri|Entropia dei buchi neri]] di [[Jacob Bekenstein|Bekenstein]]-[[Stephen Hawking|Hawking]]
|<math>S_{BH} = \frac{A_{BH} k_B c^3}{4 G \hbar} = \frac{4\pi m^2_{BH} k_B G}{\hbar c}</math>
|<math>S_{BH} = \pi A_{BH} = m^2_{BH}</math>
|<math>S_{BH} = \frac{A_{BH}}{4} = 4\pi \, m^2_{BH}</math>
|-
|Tempo delle radiazioni di Hawking per i buchi neri
| colspan="3" |<math>P={\hbar\,c^6\over15\,360\,\pi\,G^2M^2}</math>

<math>t_{\operatorname{ev}}={5120\,\pi\,G^2M_0^{\,3}\over\hbar\,c^4}</math>
|-
! colspan="4" |'''''Proprietà dell'Elettromagnetismo'''''
|-
|Permeabilità magnetica nel vuoto
|<math>\mu_0=\frac{_1}{\varepsilon_0 c^2}</math>
|<math>\mu_0=1</math>
|<math>\mu_0=4\pi</math>
|-
|[[Costante di Coulomb]]
|<math>k_e=\frac{_1}{4\pi\varepsilon_0}</math>
|<math>k_e=\frac{_1}{4\pi}</math>
|<math>k_e=1</math>
|-
|[[Costante di Coulomb]] magnetica
|<math>k_m=\frac{\mu_0}{4\pi}=\frac{_1}{4 \pi \,\varepsilon_0 c^2}</math>
|<math>k_m=\frac{_1}{4\pi}</math>
|<math>k_m=1</math>
|-
|Carica magnetica
| colspan="3" |<math>b = q_m=q \, v= e \,c </math>
|-
|[[Monopolo magnetico|Corrente magnetica]]
| colspan="3" |<math>I_m =\frac{\partial \,b}{t}= q \, a = I \, v </math>
|-
|Impedenza caratteristica del vuoto
|<math>Z_0=\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{H}}=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=\frac{_1}{\varepsilon_0 c}=\mu_0 c</math>
|<math>Z_0=1</math>
|<math>Z_0=4\pi</math>
|-
|[[Impedenza caratteristica del vuoto|Ammetanza caratteristica del vuoto]]
|<math>Y_0=\frac{\mathbf{H}}{\mathbf{E}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}=\varepsilon_0 c=\frac{_1}{\mu_0 c}</math>
|<math>Y_0=1</math>
|<math>Y_0=\frac{_1}{4\pi}</math>
|-
|Equazioni del [[campo elettrico]] e dell'[[Induzione elettrica]]
|<math>\mathbf{D}=\varepsilon_0 \, \mathbf{E}</math>
|<math>\mathbf{D}=\mathbf{E}</math>
|<math>\mathbf{D}=\frac{\mathbf{E}}{4\pi}</math>
|-
|Equazioni del [[campo magnetico]] e dell'[[Legge di Faraday|Induzione magnetica]]
|<math>\mathbf{B}=\mu_0 \, \mathbf{H}</math>
|<math>\mathbf{B}=\mathbf{H}</math>
|<math>\mathbf{B}=4\pi\, \mathbf{H}</math>
|-
|[[Legge di Biot-Savart]]
|<math>\Delta B = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{\Delta L}{r^2} \sin \theta</math>
|<math>\Delta B = \frac{I}{4\pi} \frac{\Delta L}{r^2} \sin \theta</math>
|<math>\Delta B = I \frac{\Delta L}{r^2} \sin \theta</math>
|-
|[[Magnetostatica]] di Biot-Savart
|<math>\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_C \frac{I \, d\boldsymbol \ell\times\mathbf{r'}}{|\mathbf{r'}|^3}</math>
|<math>\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi} \int_C \frac{I \, d\boldsymbol \ell\times\mathbf{r'}}{|\mathbf{r'}|^3}</math>
|<math>\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \int_C \frac{I \, d\boldsymbol \ell\times\mathbf{r'}}{|\mathbf{r'}|^3}</math>
|-----
|[[Equazioni di Maxwell]]
|<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>

<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>

<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>

<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>
| colspan="2" |<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= 4\pi{\rho}</math>

<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>

<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>

<math>\nabla \times \mathbf{B} = 4\pi\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>
|-
|[[Forza di Lorentz]] dell'[[Equazioni di Maxwell|elettromagnetismo]] di Maxwell
| colspan="3" |<math>\mathbf{F_\text{e}} = q \left( \mathbf{E} \ + \ \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)</math>
|-
|[[Vettore di Poynting]]
<small>Intensità, W/m<sup>2</sup></small>
|<math>\mathcal{S}=c^2 \varepsilon_0 \mathbf{E} \times \mathbf{B} </math>
|<math>\mathcal{S}=\frac{_1}{4 \pi} \mathbf{E} \times \mathbf{B} </math>
|<math>\mathcal{S}=\mathbf{E} \times \mathbf{B} </math>
|-
! colspan="4" |'''''Proprietà della Gravità'''''
|-----
| La formula del [[raggio di Schwarzschild]]
|<math> r_s = \frac{2Gm}{c^2} </math>
|<math> r_s = \frac{m}{2\pi} </math>
|<math> r_s = 2m </math>
|-
|[[Raggio di Schwarzschild|Carica di Schwarzschild]]
| colspan="3" |<math>Q_{r_s}=\frac{q_P}{m_P}=\sqrt{\frac{G}{k_e}} =\sqrt{4\pi \varepsilon_0\,  G}</math>
|-----
|[[Legge di Gauss]] per la gravità
|<math>\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -4 \pi GM</math><br /><math>\nabla\cdot \mathbf{g} = -4\pi G\rho</math>
|<math>\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -M</math><br /><math>\nabla\cdot \mathbf{g} = -\rho</math>
|<math>\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -4 \pi M</math><br /><math>\nabla\cdot \mathbf{g} = -4\pi \rho</math>
|-----
|[[Equazione di Poisson|Equazioni di Poisson]]
|<math>{\nabla}^2 \phi = 4\pi G \rho</math><br /> <math>\phi(r) = \dfrac {-G m}{r}</math>
|<math>{\nabla}^2 \phi = \rho</math><br /> <math>\phi(r) = \dfrac {-m}{4\pi r}</math>
|<math>{\nabla}^2 \phi = 4\pi \rho</math><br /> <math>\phi(r) = \dfrac {-m}{r}</math>
|-
|[[Gravità quantistica]] come formula principale
|<math>\Delta r_s \Delta r\ge \frac{\hbar G}{c^3}</math>
|<math>\Delta r_s\Delta r\ge \frac{1}{4\pi}</math>
|<math>\Delta r_s\Delta r\ge 1</math>
|-
|[[Unità geometrizzate|momento-impulso Newtoniana]] di [[Raggio di Schwarzschild|Schwarzschild]]
|<math>\hbar_{\,r_s}=\frac{4 \pi \hbar}{m^2}=\frac{4\pi G}{c}</math>
|<math>\hbar_{\,r_s}=1</math>
|<math>\hbar_{\,r_s}=4\pi</math>
|-
|[[Unità naturali|momento angolare inverso Newtoniana]] di [[Unità naturali|Schwarzschild]]
|<math>\frac{_1}{\hbar_{\,r_s}}=\frac{m^2}{4 \pi \hbar}=\frac{c}{4\pi G}</math>
|<math>\frac{_1}{\hbar_{\,r_s}}=1</math>
|<math>\frac{_1}{\hbar_{\,r_s}}=\frac{1}{4\pi}</math>
|-----
|[[Gravitomagnetismo|Equazioni GEM]] per ll gravitomagnetismo per la gravità di [[Oliver Heaviside]]

''ρ''<sub>g</sub> ''='' kg/m<sup>3</sup>

[[Campo gravitazionale|'''E'''<sub>g</sub>]] = a = m/s<sup>2</sup>

[[Gravitomagnetismo|'''B'''<sub>g</sub>]] = '''E'''<sub>g</sub>/v = s<sup>−1</sup>
Per la carica elementare
'''D'''<sub>g</sub> = ''ρ<sub>g</sub>/t'' = kg/(m<sup>3</sup>·s)

'''H'''<sub>g</sub> = '''D'''<sub>g</sub>·''v'' = ''ρ<sub>g</sub>/t'' = kg/(m<sup>2</sup>·s<sup>2</sup>)

'''J'''<sub>g</sub> = ''ρ<sub>g</sub>·v ='' kg/(m<sup>2</sup>·s)
|<math>\nabla \cdot \mathbf{E_g} = -4\pi G \rho_g</math>

<math>\nabla \cdot \mathbf{B_g} = 0 \ </math>

<math>\nabla \times \mathbf{E_g} = -\frac{\partial \mathbf{B_g}} {\partial t}</math>

<math>\nabla \times \mathbf{B_g} = \frac{1}{c^2} \left(-4\pi G \mathbf{J_g} + \frac{\partial \mathbf{E_g}} {\partial t} \right)</math>

<small><math>\nabla \cdot \mathbf{D_g} = \rho_gf</math></small>

<small><math>\nabla \times \mathbf{H_g} = \mathbf{J_g}f + \frac{\partial \mathbf{D_g}} {\partial t}</math></small>
|<math>\nabla \cdot \mathbf{E_g} = \rho_g</math>

<math>\nabla \cdot \mathbf{B_g} = 0 \ </math>

<math>\nabla \times \mathbf{E_g} = -\frac{\partial \mathbf{B_g}} {\partial t}</math>

<math>\nabla \times \mathbf{B_g} = \mathbf{J_g} + \frac{\partial \mathbf{E_g}} {\partial t}</math>

<small><math>\nabla \cdot \mathbf{D_g} = \rho_gf</math></small>

<small><math>\nabla \times \mathbf{H_g} = \mathbf{J_g}f + \frac{\partial \mathbf{D_g}} {\partial t}</math></small>
|<math>\nabla \cdot \mathbf{E_g} = 4 \pi \rho_g \ </math>

<math>\nabla \cdot \mathbf{B_g} = 0 \ </math>

<math>\nabla \times \mathbf{E_g} = -\frac{\partial \mathbf{B_g}} {\partial t}</math>

<math>\nabla \times \mathbf{B_g} = 4 \pi \mathbf{J_g} + \frac{\partial \mathbf{E_g}} {\partial t}</math>

<small><math>\nabla \cdot \mathbf{D_g} = \rho_gf</math></small>

<small><math>\nabla \times \mathbf{H_g} = \mathbf{J_g}f + \frac{\partial \mathbf{D_g}} {\partial t}</math></small>
|-
|[[Forza di Lorentz]] del [[gravitomagnetismo]] di GEM
| colspan="3" |<math>\mathbf{F_\text{g}} = m \left( \mathbf{E}_\text{g} \ +  \mathbf{v} \times \ 4 \mathbf{B}_\text{g} \right)</math>
|-
|[[Vettore di Poynting]] del [[gravitomagnetismo]] di GEM
Intensità, W/m<sup>2</sup>
|<math>\mathcal{S}_\text{g} = -\frac{c^2}{4 \pi G} \mathbf{E}_\text{g} \times 4 \mathbf{B}_\text{g} </math>
|<math>\mathcal{S}_\text{g} = -\frac{_1}{4 \pi} \mathbf{E}_\text{g} \times 4 \mathbf{B}_\text{g} </math>
|<math>\mathcal{S}_\text{g} = - \mathbf{E}_\text{g} \times 4 \mathbf{B}_\text{g} </math>
|-----
|[[Equazione di campo di Einstein|Equazione di campo gravitazionale]] di [[Albert Einstein]]
([[Relatività generale]])
|<math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \ </math> <small>ridotto</small>

<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2} g_{\mu \nu} R = \frac{8  \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}</math> <small>originale</small>

<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8  \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}</math> <small>esteso</small>
|<math>{ G_{\mu \nu} = 2 T_{\mu \nu} } \ </math>
|<math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ </math>
|-
|[[Costante cosmologica]]
|<math> \rho_{\Lambda} = \dfrac{\Lambda c^4}{8 \pi G} </math>
|<math> \rho_{\Lambda} = \dfrac{\Lambda}{2} </math>
|<math> \rho_{\Lambda} = \dfrac{\Lambda}{8 \pi} </math>
|-
|[[Metrica di Schwarzschild]]
| colspan="3" |<math>ds^2=\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)dt^2-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2-r^2d\theta^2-r^2\mathrm{sen}^2\theta d\phi^2</math>
|-
|[[Bosone di Higgs]]
| colspan="3" |<math>m_H= \sqrt{2 \mu^2 } \equiv \sqrt{ 2 \lambda v^2 }</math>
|-
|[[Bosone di Higgs|Meccanismo del campo di Higgs]]
| colspan="3" |<math>-m\bar{\psi}\psi=-m(\bar{\psi}_L\psi_R+\bar{\psi}_R\psi_L)</math>
<small>''da cui:''</small>

<math>\Phi=m+H</math>

<math>\Phi \,\Psi\Psi =(m+H)\,\Psi\Psi</math>

<math>(m+H) \Psi\Psi =m\,\Psi\Psi + H\,\Psi\Psi</math>

<math>\phi= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix}</math>

''<small>Langragiana di Higgs</small>''

<math>\mathcal{L}_H = \left [\left (\partial_\mu -ig W_\mu^a t^a -ig'Y_{\phi} B_\mu \right )\phi \right ]^2 + \mu^2 \phi^\dagger\phi-\lambda (\phi^\dagger\phi)^2</math>
|-
|[[Fermione di Majorana|Fermioni cinetici di Dirac]]
| colspan="3" |<math>i\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi</math>
|-
|Energia cinetica di Gauge
| colspan="3" |<math>\mathcal{L}_{\rm{kin}} = - {1\over 4} B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} - {1\over 2}\mathrm{tr} W_{\mu\nu}W^{\mu\nu} - {1\over 2} \mathrm{tr}G_{\mu\nu} G^{\mu\nu}</math>
|-
|[[Interazione di Yukawa]]
| colspan="3" |<math>V \approx g\bar\Psi \phi \Psi</math> ''<small>scalare</small>''

<math>V \approx g \bar \Psi \gamma^5 \phi \Psi</math> <small>''pseudoscalre''</small>
|-
|Costante gravitazionale entropica<ref>{{Cita web|url=https://en.wikiversity.org/wiki/User:MarianGheorgheWiki|titolo=User:MarianGheorgheWiki - Wikiversity|sito=en.wikiversity.org|lingua=en|accesso=3 aprile 2020}}</ref><ref>{{Cita web|url=https://www.slideserve.com/khanh/gravity-as-entropic-force|titolo=Gravity as Entropic Force|autore=khanh|sito=SlideServe|data=11 agosto 2012|lingua=en|accesso=3 aprile 2020}}</ref>
|<math>k_e=\frac{_1}{4 \pi \varepsilon_0} \equiv -G \,\frac{ m_1 \, m_2}{q_1 q_2}</math>

<math>\frac{_1}{G} \equiv \frac{\mu_0}{c^2}\,\frac{q_1 q_2}{ r^2} = \frac{_1}{4 \pi \varepsilon_0 \, c^4}\,\frac{q_1 q_2}{ r^2}</math>
|<math>k_e \equiv -\,\frac{ m_1 \, m_2}{4 \pi \,q_1 q_2}</math>

<math>\frac{_1}{G} \equiv \frac{_1}{4 \pi \,c^2}\,\frac{q_1 q_2}{ r^2}</math>
|<math>k_e \equiv -\,\frac{ m_1 \, m_2}{q_1 q_2}</math>

<math>\frac{_1}{G} \equiv \frac{_1}{c^2}\,\frac{q_1 q_2}{ r^2}</math>
|}

Nota:

* Per la carica elementare <math> e </math>:

: <math> e = \sqrt {4 \pi \alpha} </math> (versione Lorentz&nbsp;– Heaviside)
: <math> e = \sqrt {\alpha} </math> (versione gaussiana)

dove <math> \alpha </math> è la costante di struttura fine.

* Per la massa di riposo dell'elettrone <math> m_e </math>:

: <math> m_e = \sqrt {4 \pi \alpha_G} </math> (versione di Lorentz&nbsp;– Heaviside)
: <math> m_e = \sqrt {\alpha_G} </math> (versione gaussiana)

dove <math> \alpha_G </math> è la costante di accoppiamento gravitazionale.

Come si può vedere sopra, la [[Legge di gravitazione universale|forza gravitazionale]] di due corpi di <math>1</math> massa di Planck ciascuno, separati da <math>1</math> lunghezza di Planck è 1 [[forza di Planck]] nella versione gaussiana, o <math> \frac {1}{4 \pi} </math> forza di Planck nella versione Lorentz-Heaviside. Allo stesso modo, la distanza percorsa dalla [[luce]] durante <math>1</math> tempo di Planck è di <math>1</math> lunghezza di Planck. Per determinare le grandezze fisiche, in termini di SI o di un altro sistema esistente di unità, devono essere soddisfatti i valori quantitativi delle cinque unità di Planck di base mediante le seguenti cinque equazioni:

#<math> l_\text{P} = c \ t_\text{P} </math>

#<math> F_\text{P} = \frac{l_\text{P} m_\text{P}}{t_\text{P}^2} = 4 \pi G \ \frac{m_\text{P}^2}{l_\text{P}^2} </math> (Versione Lorentz&nbsp;– Heaviside)

<math> F_\text{P} = \frac{l_\text{P} m_\text{P}}{t_\text{P}^2} = G \ \frac{m_\text{P}^2}{l_\text{P}^2} </math> (Versione gaussiana)

#<math> E_\text{P} = \frac{l_\text{P}^2 m_\text{P}}{t_\text{P}^2} = \hbar \ \frac{1}{t_\text{P}} </math>

#<math> C_\text{P} = \frac{t_\text{P}^2 q_\text{P}^2}{l_\text{P}^2 m_\text{P}} = \varepsilon_0 \ l_\text{P} </math> (Versione Lorentz&nbsp;– Heaviside)

<math> C_\text{P} = \frac{t_\text{P}^2 q_\text{P}^2}{l_\text{P}^2 m_\text{P}} = 4 \pi \varepsilon_0 \ l_\text{P} </math>(Versione gaussiana)

#<math> E_\text{P} = \frac{l_\text{P}^2 m_\text{P}}{t_\text{P}^2} = k_\text{B} \ \Theta_\text{P}</math>

== Scelte alternative di normalizzazione ==
Come già detto sopra, le unità di Planck sono derivate "normalizzando" i valori numerici di alcune costanti fondamentali su <math>1</math>. Queste normalizzazioni non sono né le uniche possibili, né necessariamente le migliori. Inoltre, la scelta di quali fattori normalizzare, tra i fattori che compaiono nelle equazioni fondamentali della fisica, non è evidente e i valori delle unità di Planck sono sensibili a questa scelta.

Il fattore <math>4 \pi</math> è onnipresente nella [[fisica teorica]] perché la superficie di una [[sfera]] di raggio <math>r</math> è <math>4 \pi r^2</math>. Questo, insieme al concetto di [[flusso]], sono la base per la [[Legge dell'inverso del quadrato|legge del quadrato inverso]], [[Teorema del flusso|la legge di Gauss]] e l'operatore di [[divergenza]] applicato alla [[Flusso|densità del flusso]]. Ad esempio, i [[Campo elettrico|campi]] [[Campo gravitazionale|gravitazionali]] ed [[Campo elettrico|elettrostatici]] prodotti dalle cariche puntiformi hanno una simmetria sferica<ref>Barrow 2002: 214–15</ref>. Il <math>4 \pi r^2</math> che appare a denominatore della legge di Coulomb in forma razionalizzata, ad esempio, segue il flusso di un campo elettrostatico distribuito uniformemente sulla superficie di una sfera; lo stesso accade per la legge di gravitazione universale di Newton. (Se lo spazio avesse più di tre dimensioni spaziali, il fattore <math>4 \pi</math> dovrebbe essere modificato in base alla geometria della [[Sfera|sfera in dimensioni superiori]]).

Quindi un corpo sostanziale di teoria fisica sviluppato da Planck (1899) suggerisce di normalizzare non <math>G</math> ma <math>4 \pi G</math> (o <math>8 \pi G</math> oppure <math>16 \pi G</math>) a <math>1</math>. In tal modo si introdurrebbe un fattore pari a <math>\frac{1}{4 \pi}</math> (o <math>\frac{1}{8 \pi}</math> oppure <math>\frac{1}{16 \pi}</math>) nella forma adimensionalizzata della legge di gravitazione universale, coerente con la moderna formulazione razionalizzata della legge di Coulomb in termini di permittività del vuoto. Infatti, le normalizzazioni alternative preservano frequentemente il fattore di <math>\frac{1}{4 \pi}</math> anche nella forma non dimensionalizzata della legge di Coulomb, cosicché le equazioni di Maxwell non dimensionalizzate per l'elettromagnetismo e il gravitoelettromagnetismo assumono entrambe la stessa forma di quelle per l'elettromagnetismo nel SI, che non hanno alcun fattore <math>4 \pi</math>. Quando questo viene applicato alle costanti elettromagnetiche, il sistema di unità viene chiamato ''razionalizzato''. Se applicate in aggiunta alla gravitazione e alle unità di Planck, queste sono chiamate '''unità di Planck razionalizzate'''<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Sorkin|nome=Rafael|anno=1983|titolo=Kaluza-Klein Monopole|rivista=Physical Review Letters|volume=51|numero=2|pp=87-90|doi=10.1103/PhysRevLett.51.87|bibcode=1983PhRvL..51...87S}}</ref> e si vedono {{cita testo|url=https://books.google.com/books?id=1wUFoP7HC38C&pg=PA271&lpg=PA271&dq=elementary+charge+0.3028|titolo=fisica delle alte energie}}.

Le unità di Planck razionalizzate sono definite in modo tale che <math>c=4\pi G=\hbar=\epsilon_0=k_\text{B}=1</math>. Queste sono le unità di Planck basate su unità di Lorentz-Heaviside (invece che sulle unità gaussiane più convenzionali) come illustrato sopra. Esistono diverse possibili normalizzazioni alternative.

=== Gravità ===
Nel 1899, la legge di gravitazione universale di Newton era ancora vista come esatta, piuttosto che come un'approssimazione conveniente per velocità e masse "piccole" (la natura approssimativa della legge di Newton fu dimostrata in seguito allo sviluppo della [[relatività generale]] nel 1915). Quindi Planck normalizzò a <math>1</math> la costante gravitazionale <math>G</math> nella legge di Newton. Nelle teorie emerse dopo il 1899, <math>G</math> appare quasi sempre in formule moltiplicate per <math>4 \pi</math> o un suo multiplo intero piccolo. Quindi, una scelta da fare quando si progetta un sistema di unità naturali è quale, se del caso, delle istanze di <math>4 \pi</math> che compaiono nelle equazioni della fisica devono essere eliminate tramite la normalizzazione.

*Normalizzando <math>4 \pi G</math> a <math>1</math>, e quindi ponendo <math>G =\frac{1}{4 \pi}</math> si ha che:
**la [[legge di Gauss]] per la gravità diventa <math>\Phi_g = -M</math> (piuttosto che <math>\Phi_g = -4 \pi M</math> in unità di Planck)
**elimina <math>4 \pi G</math> dall'[[equazione di Poisson]]
**elimina <math>4 \pi G</math> nelle equazioni [[Gravitomagnetismo|gravitoelettromagnetiche]] (GEM), che reggono in campi gravitazionali deboli o nello [[Spaziotempo di Minkowski|spaziotempo localmente piatto]]. Queste equazioni hanno la stessa forma delle equazioni di Maxwell (e dell'equazione della forza di Lorentz) dell'[[elettromagnetismo]], con la [[Densità|densità di massa]] che sostituisce la [[densità di carica]] e con <math>\frac{1}{4 \pi G}</math> che sostituisce <math>\varepsilon_0</math>
**normalizza l'[[impedenza caratteristica]] <math>Z_0</math> della [[Onda gravitazionale|radiazione gravitazionale]] nello spazio libero a <math>1</math>, normalmente espressa come <math>\frac{4 \pi G}{c}</math>
**elimina <math>4 \pi G</math> dalla [[Termodinamica dei buchi neri|formula di Bekenstein-Hawking]] (per l'[[Termodinamica dei buchi neri|entropia di un buco nero]] in termini della sua massa <math>m_{BH}</math> e area del suo [[orizzonte degli eventi]] <math>A_{BH}</math>) che è semplificata in <math>S_{BH}=\pi A_{BH}=(m_{BH})^2</math>.
**in questo caso la [[Massa a riposo dell'elettrone|massa di riposo dell'elettrone]], misurata in termini di questa massa razionalizzata di Planck, è:

::<math> m_e = \sqrt{4 \pi \alpha_G} \cdot m_{\text{P}} \approx 1.48368 \times 10^{-22} \cdot m_{\text{P}} \, </math>

::dove <math> {\alpha_G} \ </math> è la costante di accoppiamento gravitazionale. Questa convenzione è usata nella fisica delle alte energie.

*Normalizzando <math>8 \pi G</math> a <math>1</math>, e quindi ponendo <math>G =\frac{1}{8 \pi}</math>, si ha che ciò eliminerebbe <math>8 \pi G</math> dalle equazioni di campo di Einstein, dall'[[azione di Einstein-Hilbert]] e dalle [[equazioni di Friedmann]] per la gravitazione. Le unità di Planck modificate in modo che <math>8 \pi G=1</math> sono note come '''unità di Planck ridotte''', perché la massa di Planck è divisa per <math>\sqrt{8 \pi}</math>. Inoltre, la formula di Bekenstein-Hawking per l'entropia di un buco nero si semplifica in <math>S_{BH}=\frac{(m_{BH})^2}{2}=2 \pi A_{BH}</math>.
* Normalizzando <math>16 \pi G=1</math>, eliminerebbe la costante <math>\frac{c^4}{16\pi G}</math> dall'azione Einstein-Hilbert. La forma delle equazioni di campo di Einstein con [[costante cosmologica]] <math>\Lambda</math> diventa <math>R_{\mu v}+\Lambda g_{\mu v}=\frac{1}{2} (Rg_{\mu v}+T_{\mu v})</math>.

=== Elettromagnetismo ===
Per costruire unità naturali nell'elettromagnetismo si possono usare:

* '''Unità di Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside''' (classificate come un sistema '''razionalizzato''' di unità di elettromagnetismo).
* '''Unità gaussiane''' (classificate come un sistema '''non razionalizzato''' di unità di elettromagnetismo).

Di questi, Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside è il sistema un po' più utilizzato,<ref name="GreinerNeise1995">{{Cita libro|autore=Walter Greiner|autore2=Ludwig Neise|autore3=Horst Stöcker|titolo=Thermodynamics and Statistical Mechanics|url=https://books.google.com/books?id=12DKsFtFTgYC&pg=PA385|anno=1995|editore=Springer-Verlag|p=385|ISBN=978-0-387-94299-5}}</ref> principalmente perché le [[equazioni di Maxwell]] sono più semplici nelle unità di Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside che non nelle unità gaussiane.

Nei sistemi a due unità, la carica dell'unità di Planck <math>q_P</math> è:

* <math>q_P=\sqrt{4 \pi \alpha \hbar c}</math> (Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside),
* <math>q_P=\sqrt{\alpha \hbar c}</math> (Gauss)

dove <math>\hbar</math> è la costante di Planck ridotta, <math>c</math> è la velocità della luce e <math>\alpha \approx \frac{1}{137}</math> è la costante di struttura fine.

In un sistema di unità naturale in cui <math>c=1</math>, le unità di Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside possono essere derivate dalle unità impostando <math>\varepsilon_0=\mu_0=1</math>. Unità gaussiane possono essere derivate da unità di un insieme più complicato di trasformazioni, come moltiplicando tutti i [[Campo elettrico|campi elettrici]] per <math>(4 \pi \varepsilon_0)^{-1/2}</math>, tutte le [[Suscettività magnetica|suscettibilità magnetiche]] per <math>4 \pi</math> e così via. Le unità di Planck normalizzano a <math>1</math> la [[costante di Coulomb]] <math>k_e=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}</math> (come fanno il sistema di misura [[Sistema CGS|CGS]] e le unità gaussiane). Questo imposta l'impedenza di Planck, <math>Z_P</math>, uguale a <math>\frac{Z_0}{4 \pi}</math> dove <math>Z_0</math> è l'[[impedenza caratteristica del vuoto]].

La normalizzazione della costante dielettrica del vuoto ''da'' <math>\varepsilon_0</math> a <math>1</math> (come le unità di Planck della versione Lorentz&nbsp;–&nbsp;Heaviside):

* imposta la [[Permeabilità magnetica|permeabilità dello spazio libero]] <math>\mu_0=1</math> (perché <math>c=1</math>).
* imposta l'impedenza dell'unità o la resistenza dell'unità all'impedenza caratteristica dello spazio libero, <math>Z_P=Z_0</math> (o imposta l'impedenza caratteristica dello spazio libero ''da'' <math>Z_0</math> a <math>1</math>).
* elimina <math>4 \pi</math> dalla forma non dimensionalizzata delle equazioni di Maxwell.
* La [[Forza di Coulomb|legge di Coulomb]] ha un termine <math>4 \pi r^2</math> rimanente al denominatore (che è la superficie della sfera racchiusa nel raggio <math>r</math>).
* equivale alle nozioni di densità di [[flusso]] e intensità di campo nello spazio libero (intensità del [[campo elettrico]] <math>\mathbf{E}</math> e [[induzione elettrica]] <math>\mathbf{D}</math>, intensità del [[campo magnetico]] <math>\mathbf{H}</math> e [[Campo magnetico|induzione magnetica]] <math>\mathbf{B}</math>)
* in questo caso la [[carica elementare]], misurata in termini di questa carica razionalizzata di Planck, è:

:<math> e = \sqrt{4 \pi \alpha} \cdot q_{\text{P}} \approx 0.302822121 \cdot q_{\text{P}} \, </math>

dove <math> {\alpha} \ </math> è la costante di struttura fine. Questa convenzione è usata nella fisica delle alte energie.

=== Temperatura ===
Planck normalizzò a <math>1</math> la costante di Boltzmann <math>k_B</math>

La normalizzazione di <math>\frac{1}{2}k_B</math> a <math>1</math>:

* rimuove il fattore <math>\frac{1}{2}</math> nell'equazione non dimensionalizzata per l'[[energia termica]] per particella ogni [[Grado di libertà (chimica)|grado di libertà]]
* introduce un fattore <math>2</math> nella forma non dimensionalizzata della formula entropica di Boltzmann
* non influenza il valore di nessuna delle unità di Planck di base o derivate elencate nelle Tabelle 2 e 3 diverse dalla [[temperatura di Planck]], entropia di Planck, capacità termica specifica di Planck e conducibilità termica di Planck; la temperatura di Planck raddoppia e le altre tre diventano le loro metà.

== Unità di Planck e il ridimensionamento invariante della natura ==
Alcuni teorici (come [[Paul Dirac|Dirac]] e [[Edward Arthur Milne|Milne]]) hanno proposto [[Cosmologia (astronomia)|cosmologie]] che ipotizzano che le "costanti" fisiche potrebbero effettivamente cambiare nel tempo (ad esempio una velocità della luce variabile o [[Ipotesi dei grandi numeri di Dirac|la teoria di ''G'']] variabile di [[Ipotesi dei grandi numeri di Dirac|Dirac]] ). Tali cosmologie non hanno ottenuto l'accettazione generale e tuttavia esiste ancora un notevole interesse scientifico nella possibilità che le "costanti" fisiche possano cambiare, sebbene tali proposizioni introducano domande difficili. Forse la prima domanda da porsi è: in che modo un tale cambiamento farebbe una notevole differenza operativa nella misurazione fisica o, più fondamentalmente, nella nostra percezione della realtà? Se una particolare costante fisica fosse cambiata, come la noteremmo o come la realtà fisica sarebbe diversa? Quali costanti modificate si traducono in una differenza significativa e misurabile nella realtà fisica? Se una [[costante fisica]] che non è priva di [[gruppo adimensionale|dimensioni]], come la velocità della luce, ''fosse'' effettivamente cambiata, saremmo in grado di notarla o misurarla in modo inequivocabile? Questa è una domanda esaminata da Michael Duff nel suo articolo "Commento sulla variazione temporale delle costanti fondamentali".<ref name="hep-th02080932">{{Cita pubblicazione|autore=Michael Duff|linkautore=Michael Duff (fisico)|anno=2015|titolo=How fundamental are fundamental constants?|rivista=Contemporary Physics|volume=56|numero=1|pp=35-47|doi=10.1080/00107514.2014.980093|url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00107514.2014.980093|arxiv=1412.2040}}</ref>

[[George Gamow]] sosteneva nel suo libro ''Mr Tompkins nel Paese delle Meraviglie'' che un cambiamento sufficiente in una costante fisica dimensionale, come la velocità della luce nel vuoto, avrebbe comportato evidenti cambiamenti percettibili. Ma questa idea è messa in discussione:
{{Citazione|[An] important lesson we learn from the way that pure numbers like ''α'' define the world is what it really means for worlds to be different. The pure number we call the fine structure constant and denote by ''α'' is a combination of the electron charge, ''e'', the speed of light, ''c'', and Planck's constant, ''h''. At first we might be tempted to think that a world in which the speed of light was slower would be a different world. But this would be a mistake. If ''c'', ''h'', and ''e'' were all changed so that the values they have in metric (or any other) units were different when we looked them up in our tables of physical constants, but the value of ''α'' remained the same, this new world would be ''observationally indistinguishable'' from our world. The only thing that counts in the definition of worlds are the values of the dimensionless constants of Nature. If all masses were doubled in value [including the Planck mass ''m''<sub>P</sub>&nbsp;] you cannot tell because all the pure numbers defined by the ratios of any pair of masses are unchanged.}}

Facendo riferimento al "Commento sulla variazione temporale delle costanti fondamentali"<ref name="hep-th02080932" /> di Duff e all'articolo di Duff, Okun e [[Gabriele Veneziano]] "Trialogo sul numero di costanti fondamentali",<ref name="DOV">{{Cita pubblicazione|autore=Duff|nome=Michael|linkautore=Michael Duff (fisico)|anno=2002|titolo=Trialogue on the number of fundamental constants|rivista=[[Journal of High Energy Physics]]|volume=2002|numero=3|p=023|doi=10.1088/1126-6708/2002/03/023|bibcode=2002JHEP...03..023D|autore2=Okun|autore3=Veneziano|nome2=Lev|nome3=Gabriele|wkautore3=Gabriele Veneziano|arxiv=physics/0110060}}</ref> in particolare la sezione intitolata "The operationally indistinguishable world of Mr. Tompkins", se tutte le quantità fisiche (masse e altre proprietà delle particelle) fossero espresse in termini di unità di Planck, quelle quantità sarebbero numeri adimensionali (massa divisa per la massa di Planck, lunghezza divisa per la lunghezza di Planck, e così via) e le uniche quantità che alla fine misuriamo negli esperimenti fisici o nella nostra percezione della realtà sono numeri adimensionali. Quando si misura comunemente una lunghezza con un righello o un metro a nastro, si stanno effettivamente contando i segni di graduazione su un dato standard o misurando la lunghezza rispetto a quel dato standard, che è un valore adimensionale. Non è diverso per gli esperimenti fisici, poiché tutte le quantità fisiche vengono misurate rispetto a un'altra quantità di dimensioni simili.

Potremmo notare una differenza se una qualche grandezza fisica adimensionale (come la costante di struttura fine o il rapporto di massa protone/elettrone) cambiasse (le strutture atomiche cambierebbero), ma se tutte le quantità fisiche adimensionali rimanessero invariate (questo include tutti i possibili rapporti di quantità fisiche di dimensioni identiche), non possiamo dire se una quantità dimensionale, come la velocità della luce <math>c</math>, è cambiata. E, in effetti, il concetto di Tompkins diventa privo di significato nella nostra percezione della realtà se una quantità dimensionale come <math>c</math> è cambiata, anche drasticamente.

Se il valore velocità della luce <math>c</math> è stato in qualche modo improvvisamente dimezzato e cambiato in <math>\frac{1}{2}c</math> (ma con l'assioma che ''tutte'' le grandezze fisiche adimensionali rimangano uguali), allora la lunghezza di Planck ''aumenterebbe'' di un fattore <math>2 \sqrt{2}</math> dal punto di vista di un osservatore esterno. Misurata da osservatori "mortali" in termini di unità di Planck, la nuova velocità della luce rimarrebbe come 1 nuova lunghezza di Planck per 1 nuovo tempo di Planck, che non è diverso dalla vecchia misurazione. Ma per assioma, la dimensione degli atomi (approssimativamente il [[raggio di Bohr]]) è correlata alla lunghezza di Planck da una costante immutabile di proporzionalità:

<math>a_0 = \frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} = \frac{m_\text{P}}{m_e \alpha} l_\text{P}. </math>

Quindi gli atomi sarebbero più grandi (in una dimensione) di <math>2 \sqrt{2}</math>, e ognuno di noi sarebbe più alto di <math>2 \sqrt{2}</math>, e così i nostri strumenti per misurare il metro sarebbero più alti (e più larghi e più spessi) di un fattore <math>2 \sqrt{2}</math>. La nostra percezione della distanza e delle lunghezze rispetto alla lunghezza di Planck è, per assioma, una costante immutabile senza dimensioni.

I nostri orologi ticchetterebbero più lentamente di un fattore <math>4 \sqrt{2}</math> (dal punto di vista di questo osservatore esterno) perché il tempo di Planck è aumentato di <math>4 \sqrt{2}</math>, ma non conosceremmo la differenza (la nostra percezione delle durate del tempo rispetto al tempo di Planck è, per assioma, una costante immutabile senza dimensioni). Questo ipotetico osservatore esterno potrebbe osservare che la luce ora si propaga a metà della velocità che aveva precedentemente (così come tutte le altre velocità osservate), ma avrebbe comunque percorso <math>299792458</math> dei nostri ''nuovi'' metri nel tempo trascorso da uno dei nostri ''nuovi'' secondi( <math>\frac{1}{2}c \cdot 4 \sqrt{2} / 2 \sqrt{2}</math> continua a essere uguale a <math>299792458\,m/s</math>). Non noteremmo alcuna differenza.

Ciò contraddice ciò che [[George Gamow]] scrive nel suo libro ''Mr. Tompkins''; lì, Gamow suggerisce che se una costante universale dimensione-dipendente come <math>c</math> cambiasse significativamente, ''dovremmo'' facilmente notare la differenza. Il disaccordo è meglio espresso dall'ambiguità nella frase ''"cambiare una costante fisica"''; cosa succederebbe se (1) &nbsp; tutte le altre costanti senza ''dimensione'' sono state mantenute uguali o se (2) &nbsp; tutte le altre costanti ''dipendenti dalla'' dimensione vengono mantenute uguali. La seconda scelta è una possibilità alquanto confusa, poiché la maggior parte delle nostre unità di misura sono definite in relazione ai risultati degli esperimenti fisici, e i risultati sperimentali dipendono dalle costanti. Gamow non affronta questa sottigliezza; gli esperimenti di pensiero che conduce nelle sue opere popolari assumono la seconda scelta per ''"cambiare una costante fisica"''. E Duff o Barrow sottolineano che l'attribuzione di un cambiamento nella realtà misurabile, ovvero <math>\alpha</math>, a una specifica quantità dimensionale, come <math>c</math>, è ingiustificata. La stessa differenza operativa nella misurazione o nella realtà percepita potrebbe anche essere causata da un cambiamento in <math>h</math> o [[Carica elementare|''e'']] se <math>\alpha</math> viene modificato e non vengono modificate altre costanti senza dimensione. Sono solo le costanti fisiche senza dimensioni che alla fine contano nella definizione di mondi.<ref name="hep-th02080932" />

Questo aspetto invariato della scala relativa a Planck, o quello di qualsiasi altro sistema di unità naturali, porta molti teorici a concludere che un ipotetico cambiamento nelle costanti fisiche dimensionali può manifestarsi solo come un cambiamento nelle [[Numero adimensionale|costanti fisiche senza dimensioni]]; una di queste costanti fisiche senza dimensioni è la costante di struttura fine. Ci sono alcuni fisici sperimentali che affermano di aver effettivamente misurato un cambiamento nella costante della struttura fine<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Webb|nome=J. K.|anno=2001|titolo=Further evidence for cosmological evolution of the fine structure constant|rivista=[[Physical Review Letters|Phys. Rev. Lett.]]|volume=87|numero=9|p=884|doi=10.1103/PhysRevLett.87.091301|bibcode=2001PhRvL..87i1301W|PMID=11531558|arxiv=astro-ph/0012539v3}}</ref> e questo ha intensificato il dibattito sulla misurazione delle costanti fisiche. Secondo alcuni teorici<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Davies|nome=Paul C.|linkautore=Paul C. Davies|anno=2002|titolo=Cosmology: Black Holes Constrain Varying Constants|rivista=[[Nature (periodico)|Nature]]|volume=418|numero=6898|pp=602-3|doi=10.1038/418602a|bibcode=2002Natur.418..602D|url=|PMID=12167848|autore2=Davis|autore3=Lineweaver|nome2=T. M.|nome3=C. H.}}</ref> ci sono alcune circostanze molto speciali in cui i cambiamenti nella costante della struttura fine ''possono'' essere misurati come un cambiamento nelle costanti fisiche ''dimensionali''. Altri tuttavia rifiutano la possibilità di misurare un cambiamento nelle costanti fisiche dimensionali in qualsiasi circostanza.<ref name="hep-th02080932" /> La difficoltà o persino l'impossibilità di misurare i cambiamenti nelle costanti fisiche dimensionali ha portato alcuni teorici a discutere tra loro se una costante fisica dimensionale abbia o meno un significato pratico e che a sua volta porti a domande su quali costanti fisiche dimensionali siano significative.<ref name="DOV" />

== Note ==
<references />

== Voci correlate ==
* [[Unità di misura]]
* [[Unità naturali]]
* [[Unità geometrizzate]]
* [[Universo osservabile]]
* [[Esperimento di Cavendish]]
* [[Raggio di Schwarzschild]]
* [[Spazio-tempo di Schwarzschild|Metrica di schwarzschild]]

{{unità di misura}}
{{Portale|fisica|metrologia}}

[[Categoria:Unità naturali| ]]