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La '''teoria lineare del moto ondoso (Teoria di Airy)''' permette una trattazione semplificata della [[cinematica]] delle particelle fluide in posizione variata rispetto al livello indisturbato giungendo a relazioni per il calcolo della lunghezza e del periodo dell'[[Onda marina|onda]] e la sua elevazione dalla superficie libera.

== Dimostrazione ==
=== Impostazione del problema ===

Si consideri il sistema di riferimento cartesiano posizionato sulla superficie libera, con asse ''z'' verticale diretto verso l'alto e asse ''y'' normale al piano. 
Si definisce la ''profondità locale del fondale'' '''h(x)''' la distanza tra il fondale e la superficie libera (il "tirante" idrico, costante a meno di variazioni locali qui trascurate) e l'''elevazione della superficie libera'' ('''η(x,t)''') la distanza tra la superficie libera ed il livello indisturbato, concorde con l'asse ''z''.
Si introduce quindi la ''[[pressione]]'' '''P(x,z,t)''' e il campo di ''[[velocità]] istantanea dell'[[acqua]]'' '''V(x,z,t)''' avente componenti lungo ''x'' e ''z'' rispettivamente chiamate ''u(x,z,t)'' e ''w(x,z,t)''.

=== Equazioni e ipotesi ===

* ''[[Equazione di continuità|Principio di conservazione della massa]]''
: Si fa l'ipotesi che il [[fluido]] sia ''incomprimibile'' a causa delle modeste sovrapressioni presenti, pertanto si ha che <math>\nabla \cdot \vec V = 0</math> ovvero <math>u_x + w_z = 0</math> (con il pedice qui si indica la [[variabile (matematica)|variabile]] rispetto alla quale si sta operando la [[derivata parziale]] della [[Funzione (matematica)|funzione]]). 

* ''[[Legge di conservazione della quantità di moto|Principio di conservazione della quantità di moto]]''
: <math>\rho \frac{D \vec V}{D t} = \Sigma F_m + \Sigma F_s</math>, ovvero la variazione della quantità di moto è pari alla somma delle [[Forza|forze]] di [[Massa (fisica)|massa]] e di [[superficie]] su un [[volume]] di controllo. Esplicitando si ha che:
: * ''∑ F<sub>m</sub>'': Forza di [[gravità]] + [[Forza di Coriolis]], qui trascurabile in quanto non consideriamo domini geografici estesi
: * ''∑ F<sub>s</sub>'': Forze normali, di pressione, + Forze tangenziali legate alla [[viscosità]]. Si trascura in questa analisi l'attrito [[aria]]/acqua, acqua/acqua, acqua/fondo, quindi si trascura la perdita di [[energia]] col fondo e l'azione tangenziale del [[vento]], allora la seconda ipotesi è quella di considerare il fluido ''perfetto''.

Esplicitando i termini si ha che:

<math>\begin{cases} F_p = - \nabla P \\ F_g =  \hat i \ 0 + \hat k ( - \rho g)\end{cases}</math>

quindi scomponendo si ottiene:

<math>\begin{cases} u_t + u_x u + u_z w = - \frac{P_x}{\rho} \\ w_t + w_x u + w_z w = - \frac{P_z}{\rho} - g\end{cases}</math>.

Si fa ora l'ipotesi di [[vorticità]] nulla (valida se l'onda non frange), ovvero - considerando solo l'asse ''y'' - <math>-w_x + u_z = 0</math>. Da ciò ne consegue che il moto è ''irrotazionale'' quindi il campo di velocità ammette [[potenziale scalare]] ''φ'' noto in tutto il dominio che descrive il campo cinematico, tale che <math>\phi_x = u</math> e <math>\phi_z = w</math>.

L'equazione di continuità allora si trasforma nel [[Operatore di Laplace|laplaciano]] <math>\nabla^2 \phi = 0</math>, mentre riscrivendo le equazioni di bilancio si ha:

<math>\begin{cases} \phi_t + \frac{u^2}{2} + \frac{w^2}{2} + \frac{P}{\rho} + g z = C_1 (z,t) \\ \phi_t + \frac{u^2}{2} + \frac{w^2}{2} + \frac{P}{\rho} + g z = C_2 (x,t)\end{cases}</math>

Il primo termine delle equazioni è identico per entrambe, quindi le costanti dipendono solo dal tempo. Si ottiene allora l'[[Equazione di Bernoulli]]:

: <math>\phi_t + \frac{u^2}{2} + \frac{w^2}{2} + \frac{P}{\rho} + g z = C(t)</math>

=== Condizioni al contorno ===

* ''Fondale'':

: Il fondale è descritto da tutti i punti che verificano <math>F: z + h = 0</math>. Si impone che sia impermeabile e orizzontale, ovvero che le particelle si muovano solo in direzione orizzontale (altrimenti lascerebbero un vuoto o si creerebbe un vortice). Ne consegue che <math>\frac{dF}{dt} = 0</math>, ovvero <math>w + h_x u = 0</math> (condizione ''cinematica'').

* ''Superficie libera'':

: La superficie libera è descritta da tutti i punti che verificano <math>F: z - \eta = 0</math> e anche qui si pone <math>\frac{dF}{dt} = 0</math>, ovvero <math>\phi_z - \eta_x \phi_x - \eta_t = 0</math>. Essendo in superficie la pressione pari a quella atmosferica (P = P<sub>atm</sub> = 0), sostituendo in Bernoulli si ha:

: <math>\phi_t + \frac{1}{2} (u^2 + w^2) + g \eta = 0</math> (condizione ''dinamica'').

* ''Teoria delle onde progressive monocromatiche su fondale costante'':

: Si considera che le onde mantengono costante la forma e quindi si impone la condizione di ''periodicità'', ovvero ciò che accade su un contorno è identico a ciò che accade sull'altro, quindi <math>\phi(x+L,z,T) = \phi(x,z,t)</math>.

==== Semplificazioni ====

Le equazioni che governano il fenomeno non sono lineari. Si pone quindi la fondamentale ipotesi che le onde abbiano ''piccola ampiezza'' rispetto alla profondità e alla lunghezza, ovvero <math>\frac{a}{L} , \frac{a}{h} << 1</math> ovvero la ripidità h/L (data anche da ''η<sub>x</sub>'') è molto bassa.
Dalla condizione sulla superficie libera si può trascurare il prodotto <math>\phi_x \eta_x</math> e <math>\eta_t = \phi_z</math> (acqua va più veloce se onda è più grande a parità di periodo). Dalla condizione dinamica, essendo ''u'' e ''v'' dipendenti da ''a'', la loro potenza è trascurabile. 
In ''z=0'' quindi si ha:

<math>\begin{cases} \eta_t - \phi_z = 0 \\ \phi_t + g \eta = 0 \end{cases}</math>

dove però non è conosciuta la ''η'',  resa indistinguibile dal livello indisturbato.

=== Soluzione ===

La soluzione del problema è:

: <math>\phi = \frac{ag}{\omega} \ \frac{\cosh{k(h+z)}}{\cosh{k(h)}} \ \sin{kx - \omega t}</math>

con <math>k = \frac{2 \pi}{L}</math> e <math>\omega = \frac{2 \pi}{T}</math>, dove ''L'' è la lunghezza dell'onda e ''T'' il suo periodo.

==== Verifiche delle ipotesi ====

* ''Laplace'': 

: <math>\phi_{xx} = - \frac{k^2 a g}{\omega} \ \frac{\cosh{k(h+z)}}{\cosh{k(h)}} \ \sin{kx - \omega t} = - \phi_{zz} = \frac{k^2 a g}{\omega} \ \frac{\cosh{k(h+z)}}{\cosh{k(h)}} \ \sin{kx - \omega t}</math> ⇒ Verificato

* ''Fondale'':

: <math>\phi_z = 0</math>, verificata in quanto <math>\sinh{k(h-h)} = 0</math>

* ''Superficie libera'':

: ''Dinamica'': <math>\phi_t + g \eta = 0</math>. Da questa si dimostra che l'elevazione della superficie libera è descritta da una funzione periodica di altezza ''a'': <math>\eta = a \ \cos{kx - \omega t}</math>

: ''Cinematica'': <math>\phi_x + \eta_t = 0</math>. Da questa si ottiene l'importantissima '''relazione di dispersione''' <math>\omega^2 = g k \tanh{kh}</math> che lega tra loro L,h e T. Esplicitando rispetto a L si ha <math>L = \frac{g T^2}{2 \pi} \tanh{2 \pi \frac{h}{L}}</math>. Ne consegue che la ''celerità di fase'' è data da <math>c = \frac{g T}{2 \pi} \tanh{2 \pi \frac{h}{L}}</math>.

== Approssimazioni ==

La relazione della lunghezza è di tipo implicito, risolvibile per tentativi. È possibile però effettuare alcune semplificazioni.

Per ''h/L → ∝'', ovvero in ''acqua profonda'' o ''onde corte'', ''tanh(h/L) → 1'' quindi, essendo g ≈ 9,81 m/s<sup>2</sup>, <math>L_0 = 1,56 T^2</math> e <math>c_0 = 1,56 T</math>.

Per ''h/L → 0'', ovvero in ''acqua bassa'' o ''onde lunghe'', ''tanh(h/L) → h/L'' quindi, essendo g ≈ 9,81 m/s<sup>2</sup>, <math>L_s = \sqrt[2]{g h} \ T</math> e <math>c = \sqrt[2]{g h}</math>.

È possibile comunque utilizzare la seguente relazione esplicita per la lunghezza, che fornisce errori dell'ordine del 5%:
: <math>L = 1,56 T^2 \tanh{(\sinh{\frac{2 \sqrt[2]{h}}{T}})}</math>

[[Categoria:Meccanica dei fluidi]]
[[Categoria:Mare]]