Visualizza wikitesto di Teoria dell'area in geometria iperbolica

La '''teoria dell'area in geometria iperbolica''' è una [[teoria]] nell'ambito della [[geometria iperbolica]].

==Definizione==
È possibile creare un parallelo tra l'[[area]] di un [[poligono]] definita nel piano euclideo e l'area di una poligonale definita nel [[piano iperbolico]].

Nella geometria euclidea è definita una [[funzione area]] che soddisfa proprietà tali da ritenerla una corretta misura di una [[superficie]].

Inoltre nel piano euclideo le poligonali godono della proprietà di [[equiscomponibilità]].

In particolare valgono i seguenti [[Teorema|teoremi]]:

* Se due regioni triangolari hanno la stessa area allora sono equiscomponibili;
* Se due [[Regione poligonale|regioni poligonali]] hanno la stessa area, allora sono equiscomponibili.

Osserviamo che nel piano euclideo non tutte le regioni piane sono equiscomponibili.

Analogamente anche nello [[spazio euclideo]] non tutti i [[solidi]] godono della proprietà di [[equiscomponibilità]]: infatti [[Prisma|prismi]] di ugual [[volume]] sono equiscomponibili, mentre prismi e [[Piramide|piramidi]] di ugual volume non sono equiscomponibili.

In geometria iperbolica è possibile definire una [[Funzione (matematica)|funzione]] che soddisfi le condizioni della [[funzione area]]. Essa è la funzione difetto angolare.

Tale funzione soddisfa gli assiomi 1 - 4 definiti per la [[funzione area]] (osserviamo che in geometria iperbolica non esistono rettangoli, pertanto l'assioma 4 non può risultare falso) e la proprietà di [[equiscomponibilità]].

In particolare vale il seguente [[teorema]]:

'''Teorema 1:''' Se <math>A</math> è una [[Funzione (matematica)|funzione]] definita dall'[[insieme]] <math>\mathcal{P}</math> di tutte le [[Regione poligonale|regioni poligonali]] nell'insieme dei [[numeri reali]] (quindi <math>A\colon \mathcal{P}\to \R</math>) che gode delle i proprietà A1 e A3 della [[funzione area]], e della proprietà di [[equiscomponibilità]], allora esiste un [[numero]] <math>h</math> tale che per ogni regione poligonale <math>P</math> vale

: <math>A(P)=h \cdot d(P),</math>

dove <math>d(P)</math> è il difetto angolare della regione <math>P</math>.

Il teorema assicura che il difetto angolare è l'unica possibile [[funzione area]] che, a meno di una [[costante]] arbitraria, salvaguarda le [[Proprietà (matematica)|proprietà]] peculiari della misura delle superfici nel piano iperbolico.

Valgono i seguenti teoremi relativi all'[[equiscomponibilità]], analoghi al caso euclideo:

'''Teorema 2: ''' Se due regioni triangolari hanno lo stesso difetto angolare (e quindi la stessa area) allora sono equiscomponibili;

'''Teorema 3: ''' Se due regioni poligonali hanno lo stesso difetto angolare (e quindi la stessa area), allora sono equiscomponibili.

Il teorema precedente dimostra che in geometria iperbolica l'[[area]] di un [[triangolo]] e l'area di un [[poligono]] si mantengono al di sotto di un valore costante, in particolare:

: <math>A(\text{triangolo}) < h\pi;</math>
: <math>A(\text{poligono}) < n h\pi,</math> (dove <math>n</math> è il numero di lati del poligono).

Osserviamo che nel piano iperbolico la funzione area è definita a meno di una costante arbitraria <math>h</math>, pertanto è possibile sfruttare l'arbitrarietà di <math>h</math> per scegliere la funzione difetto angolare in modo che si abbia l'identità numerica tra l'area definita nel piano iperbolico e nel piano euclideo.

== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore=Richard Trudeau|titolo=La rivoluzione non euclidea|editore=Bollati Boringhieri|isbn=8833957500}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Geometria iperbolica]]